[論文レビュー] Length series on Teichmuller space

Greg McShane|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Wolpertの長さ変動公式を用いてその微分が消えることを示すことにより、穴あきトーラス上の測地的角の発散級数が、Teichmüller空間上に定数関数として定義されることを証明する。主要な結果は、この級数が $ olimits\pi$ に収束することであり、これはDeligne-Mumfordのコンパクト化における無限遠点での関数の値を評価することにより得られ、双曲的長さの漸近的解析と安定ノルムを用いる。

ABSTRACT

We prove that a certain series defines a constant function using Wolpert's formula for the variation of the length of a geodesic along a Fenchel Nielsen twist. Subsequently we determine the value viewing it as function on the the Deligne Mumford compactification and evaluating it at the stable curve at infinity.

研究の動機と目的

• 穴あき双曲的トーラス上の単純測地線に関する恒等式 $\sum \frac{2}{1 + \exp l_\gamma} = 1$ がWolpertの長さ変動公式を用いて証明可能かどうか、Jorgensenの問いに応えること。
• 写像類群作用の下での測地線間の符号付き角の形式的発散級数が、Teichmüller空間上に定数関数として定義されることを示すこと。
• Deligne-Mumfordコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ の境界における振る舞いを分析することにより、この級数の定数値を評価すること。
• 幾何的および力学的技法を用いて、この級数の微分が消えることを確立し、Teichmüller空間上での定数性を示すこと。

提案手法

• 写像類群 $\mathrm{Mod}(M)$ による作用の下での発散級数 $\mathcal{Q} = \sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$ を、$\mathrm{Mod}(M)/\langle T_\gamma \rangle$ における陪集合分解を用いて書き直し、Dehn変位の軌道への還元を行う。
• 補題1を適用して、$T_\gamma^n(\gamma')$ の双曲平面への上への持ち上げを記述し、Dehn変位生成子の軸の端点へ測地線が収束することを示す。
• 持ち上げられた測地線の幾何的収束性を用いて、$n \in \mathbb{Z}$ における内側の和を縮約し、$\gamma^- \vee \gamma^+ = \pi - 2\arctan\left( \frac{\cosh(l_\delta/4)}{\sinh(l_\gamma/2)} \right)$ を得る。
• 別の陪集合分解 $\mathrm{Mod}(M)/\langle q \rangle$（$q$ は位数2の元）を用いて $\mathcal{Q}$ を再表現し、各陪集合ごとの角の和が $\pi$ であることを示し、全級数の定数性を示唆する。
• Mumford-Mahlerのコンパクト性基準と、コラール補題および安定ノルムによる双曲的長さの漸近的推定を用いて、短縮長 $\mathrm{sys}(x) \to 0$ のときの振る舞いを分析する。
• 無限遠点における級数の極限を評価する際、$\mathrm{sech}$ 項の和をリーマン和として近似し、$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sech}(u)\,du = \pi$ に収束させることにより、定数値を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あきトーラス上の単純測地線に関する恒等式 $\sum \frac{2}{1 + \exp l_\gamma} = 1$ は、Wolpertの長さ変動公式を用いて証明可能か？
• RQ2 発散的級数 $\sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$ はTeichmüller空間上に定数関数として定義されるか？
• RQ3 級数 $\sum_{g \in \mathrm{Mod}(M)} g(\alpha) \vee g(\beta)$ の値は何か？ また、Deligne-Mumfordコンパクト化における境界の振る舞いを用いてどのように計算できるか？
• RQ4 双曲的計量の変形の下でこの級数の変動はどのように振る舞い、なぜそれが消えるのか？

主な発見

• 級数 $\sum_{n \in \mathbb{Z}} T_\gamma^n(\gamma') \vee T_\gamma^{n+1}(\gamma')$ は $\pi - 2\arctan\left( \frac{\cosh(l_\delta/4)}{\sinh(l_\gamma/2)} \right)$ に縮約され、これはDehn変位の力学的性質から得られる重要な幾何的恒等式である。
• 全級数 $\mathcal{Q}$ は、$d\mathcal{Q}' = d\mathcal{Q}$ かつ角の和の変動がゼロであるという事実により、Teichmüller空間上で定数関数である。
• Deligne-Mumfordコンパクト化における無限遠点での級数の値は $\pi$ であり、これは $\mathrm{sech}$ 項の和を $\mathbb{R}$ 上の積分に近似することで計算された。
• 極限 $\lim_{\mathrm{sys}(x) \to 0} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \cosh(l_\delta/4) \cdot \mathrm{sech}(l_{T^n(\gamma')}) = \pi$ は、測地線長の漸近的推定とリーマン和の収束性を用いて確立された。
• 級数 $\sum_{\gamma} \exp(-t l_\gamma)$ は、$\mathrm{sys}(x) \to 0$ のとき $o(\mathrm{sys}(x)^{-Nt - 2})$ に漸近する。これは、固定された測地線と複数回交差する曲線の和に対する重要な減衰推定である。