[論文レビュー] Levy-Kolmogorov scaling of turbulence

W. Chen, Hongwei Zhou|ArXiv.org|Jun 15, 2005

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、乱流をLévy安定過程としてモデル化し、Kolmogorov理論のガウス仮定を置き換えるために、分数ラプラシアンを用いた分数ナビエ＝ストークス方程式を提案する。得られるLévy-Kolmogorovスケーリングは、-3から-5/3のべき則指数を示し、ガウス過程における極限状態として-5/3の指数が出現する。有限レイノルズ数乱流における重たい尾部統計と異常な散逸スケーリングを捉える非ガウス的フレームワークを提供する。

ABSTRACT

The Kolmogorov scaling law of turbulences has been considered the most important theoretical breakthrough in the last century. It is an essential approach to analyze turbulence data present in meteorological, physical, chemical, biological and mechanical phenomena. One of its very fundamental assumptions is that turbulence is a stochastic Gaussian process in small scales5. However, experiment data at finite Reynolds numbers have observed a clear departure from the Gaussian. In this study, by replacing the standard Laplacian representation of dissipation in the Navier-Stokes (NS) equation with the fractional Laplacian, we obtain the fractional NS equation underlying the Levy stable distribution which exhibits a non-Gaussian heavy trail and fractional frequency power law dissipation. The dimensional analysis of this equation turns out a new scaling of turbulences, called the Levy-Kolmogorov scaling, whose scaling exponent ranges from -3 to -5/3 corresponding to different Levy processes and reduces to the limiting Kolmogorov scaling -5/3 underlying a Gaussian process. The truncated Levy process and multi-scaling due to the boundary effect is also discussed. Finally, we further extend our model to reflecting the history-dependent fractional Brownian motion.

研究の動機と目的

• 有限レイノルズ数乱流におけるガウス統計からの観測された逸脱を扱う。これはKolmogorov理論の根幹的仮定を無効にしている。
• 実験的乱流データで観測される非ガウス的で重たい尾部を持つ速度増分分布を捉える理論的枠組みを構築すること。
• 標準ラプラシアンを分数ラプラシアンに置き換えることで、ナビエ＝ストークス方程式に新たなスケーリング則—Lévy-Kolmogorovスケーリング—を導出すること。
• この新しいスケーリングが、ガウス的極限において古典的Kolmogorovの-5/3法則にどのように還元されるかを示すこと。
• 履歴依存性を持つ分数 Browm運動を用いて記憶効果を組み込み、切り詰めLévy過程による境界誘導マルチスケーリングを統合することで、モデルを拡張すること。

提案手法

• 異常な散逸と非ガウス的統計をモデル化するため、ナビエ＝ストークス方程式の標準ラプラシアンを分数ラプラシアンに置き換える。
• 分数ナビエ＝ストークス方程式の次元解析を用いて、エネルギースペクトルの新しいスケーリング則を導出する。
• 重たい尾部を持つ速度増分分布を捉えるために、乱流をLévy安定過程としてモデル化する。
• 有限系サイズと境界効果を考慮するため、切り詰めLévy過程を導入し、マルチスケーリング行動をもたらす。
• 記憶効果を反映するため、分数 Browm運動を用いてモデルを拡張し、長距離依存性を組み込む。
• Lévy過程の安定性指数に応じて、べき則指数の範囲が-3から-5/3に現れることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式における標準ラプラシアンを分数ラプラシアンに置き換えると、乱流エネルギースペクトルのスケーリングはどのように変化するか？
• RQ2 乱流がガウス過程ではなくLévy安定過程としてモデル化された場合、エネルギースペクトルの結果的なスケーリング指数の範囲は何か？
• RQ3 新しいLévy-Kolmogorovスケーリングは、ガウス的極限において古典的Kolmogorovの-5/3スケーリングとどのように関係するか？
• RQ4 境界効果と有限系サイズはスケーリング行動にどのように影響を及ぼし、切り詰めLévy過程はその影響をどのように捉えるか？
• RQ5 履歴依存性を持つ分数 Browm運動を用いて、乱流の記憶効果をモデルに組み込むことは可能か？

主な発見

• 分数ラプラシアンを用いた分数ナビエ＝ストークス方程式は、-3から-5/3のべき則指数を有する新しいスケーリング則—Lévy-Kolmogorovスケーリング—を導く。
• Lévy過程がガウス過程に還元される極限状態では、古典的Kolmogorovの-5/3スケーリングが出現する。
• 本モデルは、有限レイノルズ数における実験的観測と整合的な非ガウス的で重たい尾部を持つ統計を、速度増分において成功裏に捉えている。
• 切り詰めLévy過程は境界効果に起因するマルチスケーリング行動を導入し、現実の乱流系の複雑さを反映している。
• 履歴依存性を持つ分数 Browm運動への拡張により、長距離依存性が組み込まれ、複雑な乱流ダイナミクスの現実性が向上した。
• 分数方程式の次元解析により、Lévy安定統計と整合的な異常な散逸スケーリングの出現が確認された。