[論文レビュー] Levy Matrices and Financial Covariances

Z. Burda, J. Jurkiewicz+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2001

Random Matrices and Applications参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、S&P500の日次リターンを初期株価で正規化した金融共分散行列が、Lévy安定の重たい尾を持つ分布を示し、そのスペクトル特性がランダムLévy行列理論と一致することを提案している。共分散行列は再配置に対して頑健であるため、その大きな固有値と局在化した固有ベクトルは、株式間相関ではなく、リターンのLévy性に起因しており、非ガウス的市場におけるリスク評価のための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

In a given market, financial covariances capture the intra-stock correlations and can be used to address statistically the bulk nature of the market as a complex system. We provide a statistical analysis of three SP500 covariances with evidence for raw tail distributions. We study the stability of these tails against reshuffling for the SP500 data and show that the covariance with the strongest tails is robust, with a spectral density in remarkable agreement with random Levy matrix theory. We study the inverse participation ratio for the three covariances. The strong localization observed at both ends of the spectral density is analogous to the localization exhibited in the random Levy matrix ensemble. We discuss two competitive mechanisms responsible for the occurrence of an extensive and delocalized eigenvalue at the edge of the spectrum: (a) the Levy character of the entries of the correlation matrix and (b) a sort of off-diagonal order induced by underlying inter-stock correlations. (b) can be destroyed by reshuffling, while (a) cannot. We show that the stocks with the largest scattering are the least susceptible to correlations, and likely candidates for the localized states. We introduce a simple model for price fluctuations which captures behavior of the SP500 covariances. It may be of importance for assets diversification.

研究の動機と目的

• S&P500の共分散行列が日次リターンを正規化して構築された統計的性質を分析すること。
• 金融共分散における重たい尾の分布が、価格データの再配置に対して頑健であるかどうかを調査すること。
• 実市場データにおけるスペクトル密度と固有ベクトルの局在化が、ランダムLévy行列理論の予測とどの程度一致するかを特定すること。
• Lévy分布を示すリターンが、ポートフォリオリスク管理および分散化に与える影響、特に非ガウス的市場における影響を評価すること。
• S&P500共分散の主要な経験的特徴を再現する最小限の確率的モデルを構築すること。

提案手法

• S&P500の406銘柄、1309日分（1991–1996年）のデータを用いて、初期株価で正規化したC（C）、局所的ボラティリティで正規化したG（G）、価格レンジで正規化したJ（J）の3つの共分散行列を構築する。
• パワーロウフィッティングを用いて行列要素の尾分布を分析し、再配置に対して重たい尾が安定しているかを特定する。
• リターンデータの再配置を適用して、スペクトル的特徴と固有ベクトルの局在化の頑健性をテストし、ランダム行列理論と比較する。
• 固有ベクトルの局在化を定量化し、純粋状態と混合状態を特定するために、逆参加比（IPR）を計算する。
• サイズと非対称性が一致するランダムLévy行列アンサンブルのスペクトル密度と、経験的共分散のスペクトル密度を比較する。
• リターンを符号およびLévy分布に従うフラクチュエーションとしてモデル化する確率的モデルを提案：$ M_{ti} = \text{sgn}_{ti} \cdot \xi_{it} $、ここで $ \xi_{it} $ は独立同分布のLévy分布に従う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期株価で正規化したリターンから構築されたS&P500共分散行列は、安定したLévy型の重たい尾を持つか？
• RQ2 価格データの再配置が、金融共分散行列のスペクトル密度と固有ベクトルの局在化にどのように影響するか？
• RQ3 最も頑健な共分散行列のスペクトル特性が、ランダムLévy行列理論が予測するものとどの程度一致するか？
• RQ4 リターンのLévy性が、スペクトル端縁に広がった局在化しない固有値の出現に果たす役割は何か？
• RQ5 Lévy分布に従うフラクチュエーションに基づく単純な確率的モデルは、S&P500共分散の主要な経験的特徴を再現できるか？

主な発見

• 初期株価で正規化した共分散行列Cは、安定指数を示すパワーロウ尾を持ち、そのスペクトル密度はランダムLévy行列理論と顕著に一致する。
• 価格データの再配置は、行列Cのスペクトル密度や最大固有値を変化させないため、エントリのLévy性に起因する頑健性が示される。
• 逆参加比（IPR）は、行列Cのスペクトル両端で強い局在化を示し、純粋で局在化した状態に対応する固有ベクトルを特定する。
• 対照的に、ボラティリティとレンジで正規化した行列GとJは、より少ない局在化を示し、再配置に対してより感受性が高いため、その大きな固有値は株式間相関に起因していると示唆される。
• 局在化した固有ベクトルの銘柄散乱度は、最も極端なフラクチュエーションにおいて最大となり、最もボラティリティの高い銘柄が最も相関が低く、局在化状態を形成しやすいことを示している。
• i.i.d. にLévy分布に従う $ \xi_{it} $ を用いた単純なモデル $ M_{ti} = \text{sgn}_{ti} \cdot \xi_{it} $ は、経験的C行列のスペクトル的および局在化特徴を再現する。これは、Lévyノイズが市場共分散構造の主因である可能性を示唆している。