[論文レビュー] Levy path integral approach to the solution of the fractional Schrödinger equation with infinite square well

Dong Jianping|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、分数階シュレーディンガー方程式の無限井戸型ポテンシャルに対する解法として、Lévy経路積分法を用い、分数量子力学における非局所的性質を有する分数量Riesz微分作用素の問題を回避した。偶関数および奇関数のパリティを持つ波動関数とエネルギー準位を導出し、Laskinの元来の結果と完全に一致させ、非摂動的で経路積分に基づく手法によってその妥当性を検証した。

ABSTRACT

The solution to the fractional Schrödinger equation with infinite square well is obtained in this paper, by use of the Lévy path integral approach. We obtain the even and odd parity wave functions of this problem, which are in accordance with those given by Laskin in [Chaos 10 (2000), 780--790].

研究の動機と目的

• 分数量Riesz微分作用素の非局所的性質に起因する、Laskinによる分数量シュレーディンガー方程式の無限井戸型ポテンシャルに対する解法の妥当性に関する論争を解消すること。
• 標準的な局所的解法手法が非局所的な分数量系において問題を引き起こすのを避けるために、代替的で間接的な解法手法を提供すること。
• Lévy安定過程に基づく厳密な経路積分フレームワークを用いて、Laskinの波動関数およびエネルギー準位の正しさを検証すること。
• Lévy経路積分形式主義が境界条件を伴う分数量力学的問題を解く際に有効に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 境界条件を満たすために、符号が交互に変化するLévy経路の全集合について和をとることで、無限井戸型ポテンシャル内における粒子の伝播関数を構築する。
• 運動量空間における自由粒子の核は、Lévy安定分布とFoxのH関数を用いて表現され、分数量拡散係数 $D_\alpha$ を含む。
• ピュソン和公式を適用して、反射経路の和をディラックのデルタ関数の系列に変換し、離散的なエネルギー準位の抽出を可能にする。
• 境界条件は、各反射に対して $(-1)^r$ の符号因子を用いた反射原理により強制され、運動量空間における周期的化された核が得られる。
• 得られた伝播関数を解析接続することで、フーリエ分解を用いて時間に依存しない波動関数および固有エネルギー値を抽出する。
• 最終的な波動関数は、核の構造を正弦および余弦モードの離散的和に一致させることで導出され、偶パリティおよび奇パリティ状態が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy経路積分法は、無限井戸型境界条件を伴う分数量シュレーディンガー方程式に対して一貫した解を提供できるか？
• RQ2 Lévy経路積分法は、分数量Riesz微分作用素の非局所的性質に起因するLaskinの元来の解法の妥当性に関する論争を解消できるか？
• RQ3 Lévy経路積分法によって得られた偶パリティおよび奇パリティの波動関数およびエネルギー準位は、Laskinの結果と整合的か？
• RQ4 経路積分法は、非局所的作用素および境界条件を伴う分数量量子系に有効に適用可能か？

主な発見

• Lévy経路積分法は、分数量無限井戸型ポテンシャルにおける時間に依存しない波動関数を成功裏に得られ、偶パリティおよび奇パリティの解を確認した。
• 導出された波動関数は $\phi_n^{\text{odd}} = \frac{1}{\sqrt{l}}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)$ および $\phi_n^{\text{even}} = \frac{1}{\sqrt{l}}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)$ であり、Laskinの元来の結果と完全に一致した。
• エネルギー準位は、奇状態に対して $E_n = D_\alpha \left(n\frac{\pi\hslash}{l}\right)^\alpha$、偶状態に対して $E_n = D_\alpha \left((n+\frac{1}{2})\frac{\pi\hslash}{l}\right)^\alpha$ であり、$D_\alpha$ は分数量拡散係数である。
• 境界条件を交替する反射符号を経路積分の測度に直接埋め込むことで、非局所性の問題が解決された。
• 得られた伝播関数が正しい量子数を有する離散的エネルギー固有状態の和に還元されることを示すことによって、解の妥当性が確認された。
• 本手法は、摂動論を用いない間接的解法として、分数量シュレーディンガー方程式を解くための強固な代替手法を提供した。