[論文レビュー] Levy-stable distributions revisited: tail index > 2 does not exclude the Levy-stable regime

Rafał Weron|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2001

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、広く使われている尾指数推定法—対数-対数線形回帰とHill推定法—が、特に α が 2 に近い場合、有限標本における Levy-stable 分布の尾指数 α を顕著に過大評価することを示している。研究では、報告された尾指数が 3 前後である場合、実際には α ≈ 1.8 の真の Levy-stable 状態を示している可能性があり、金融リターンデータにおける Levy-stability の拒否が、このような推定に基づくものであることを疑問視する。

ABSTRACT

Power-law tail behavior and the summation scheme of Levy-stable distributions is the basis for their frequent use as models when fat tails above a Gaussian distribution are observed. However, recent studies suggest that financial asset returns exhibit tail exponents well above the Levy-stable regime ($0<\alpha\le 2$). In this paper we illustrate that widely used tail index estimates (log-log linear regression and Hill) can give exponents well above the asymptotic limit for $\alpha$ close to 2, resulting in overestimation of the tail exponent in finite samples. The reported value of the tail exponent $\alpha$ around 3 may very well indicate a Levy-stable distribution with $\alpha\approx 1.8$.

研究の動機と目的

• Levy-stable 分布に対する一般的な尾指数推定法—対数-対数線形回帰とHill推定法—の信頼性を調査すること。
• 有限標本における尾指数 α の過大評価が、金融リターンデータにおける Levy-stable 状態の不適切な拒否を引き起こすかどうかを評価すること。
• 報告された尾指数が 3 前後である場合、実際には α ≈ 1.8 の真の Levy-stable 分布を示している可能性があることを示すこと、特に α が 2 に近い場合に注目する。
• 非常に大きなデータセットと極値統計を用いることの重要性を強調すること。

提案手法

• α ∈ (1.8, 1.95) で非歪みの Levy-stable 分布（β = 0）をシミュレーションし、標本サイズを 10^8 まで変化させて推定バイアスを評価する。
• Hill推定法および対数-対数線形回帰を用いて、経験的累積分布関数から尾指数を推定する。
• α と β の連続性を保証するため、特性関数の S0α(σ, β, µ0) パrameterization を使用し、安定な数値計算を可能にする。
• 異なるしきい値 k（上位順序統計の数）における Hill プロットおよび回帰フィットを分析し、安定な推定領域を同定する。
• 推定された尾指数と真の α 値を比較して、有限標本における過大評価バイアスを定量的に評価する。
• 真のパワー則減衰行動を分離するために、極値（k < 0.1% の標本サイズ）に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の分布が α ≤ 2 の Levy-stable である場合、標準的な尾指数推定法（Hill推定法や対数-対数回帰）が α > 2 を生じる可能性があるか？
• RQ2 α が 2 に近い場合に、有限標本効果が尾指数 α の過大評価をどれほど引き起こすか？
• RQ3 金融リターンデータにおいて報告された尾指数が約 3 である場合、それが α ≈ 1.8 の Levy-stable 分布の可能性を排除するものではないか？
• RQ4 Levy-stable 分布の真の尾挙動を信頼性高く回復するには、どの程度の標本サイズと推定戦略が必要か？

主な発見

• α が 2 に近い場合、特に有限標本では、Hill推定法および対数-対数回帰が真の α よりも顕著に高い尾指数推定値を生じる。
• α = 1.8 の場合、Hill推定法は k ≈ 25,000 から 60,000（10^8 の標本では k < 0.06%）でのみ正確な推定が得られ、最適範囲が狭いことが示された。
• α = 1.95 の場合、Hill推定法は k < 20,000（k < 0.02% の標本サイズ）でのみ真の値に近づき、特定の k で一貫した推定が得られない。
• 10^8 個の観測値があっても、金融データで報告される α ≈ 3 の尾指数は、実際には α ≈ 1.8 の真の Levy-stable 状態を反映している可能性があり、非安定なパワー則（α > 2）ではない。
• 極値リターンの経験的累積分布関数における上向きのカーブ（[14] で示されたように）は、初期のパワー則減衰が真の α < 2 を隠している可能性を示しており、尾挙動の誤解釈を示唆する。
• 尾指数推定値が 3 前後であることを根拠に Levy-stability を拒否することは、標準的推定法における有限標本バイアスの結果として生じうるため、完全には正当化されない。