[論文レビュー] Lie algebras constructed with Lie modules and their positively and negatively graded modules

Nagatoshi Sasano|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限次元標準四重対から無限次元設定へのgraded Lie代数の構成を、標準五重対$(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$を導入することによって拡張する。ここで、$\mathfrak{g}$は非退化な不変な双線形形式$B_0$を持つLie代数であり、$V$は$\mathfrak{g}$-加群であり、$\mathcal{V} \subset \mathrm{Hom}(V, \mathfrak{k})$は$\mathfrak{g}$-部分加群である。本稿は、$\mathfrak{g}$, $V$, $\mathcal{V}$を埋め込むgraded Lie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$を構成し、さらにその代数の正および負の次数付き加群を構成する。主な貢献は、$B_0$が対称的であり、追加の整合性条件を満たす場合に、このような構造をより大きなgraded Lie代数へ埋め込むための連鎖律を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, we shall give a way to construct a graded Lie algebra $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$ from a standard pentad $(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$ which consists of a Lie algebra $\mathfrak{g}$ which has a non-degenerate invariant bilinear form $B_0$ and $\mathfrak{g}$-modules $(ρ, V)$ and ${\cal V}\subset \mathrm {Hom }(V,\mathfrak{k})$ all defined over a field $\mathfrak{k}$. In general, we do not assume that these objects are finite-dimensional. We can embed the objects $\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V}$ into $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$. Moreover, we construct specific positively and negatively graded modules of $L(\mathfrak{g},ρ,V,{\cal V},B_0)$. Finally, we give a chain rule on the embedding rules of standard pentads.

研究の動機と目的

• 有限次元標準四重対からのgraded Lie代数理論を無限次元標準五重対へ一般化すること。
• 標準五重対$(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$から、$\mathfrak{g}$, $V$, $\mathcal{V}$を代数に埋め込むgraded Lie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$を構成すること。
• $\mathfrak{g}$-加群$U$から帰納的技法を用いて、$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$の正および負の次数付き加群を構成し、既知の加群構成を一般化すること。
• 対称的双線形形式および整合性条件を満たす場合に、Lie代数およびそのgraded加群をより大きなgraded Lie代数へ埋め込むための連鎖律を確立すること。

提案手法

• 体$\mathfrak{k}$上での標準五重対を、5重対$(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$として定義する。ここで、$\mathfrak{g}$は非退化な不変双線形形式$B_0$を持つLie代数であり、$\rho$は$V$上の$\mathfrak{g}$-加群構造であり、$\mathcal{V}$は$\mathrm{Hom}(V, \mathfrak{k})$の$\mathfrak{g}$-部分加群である。
• 線形写像$\Phi_\rho: V \otimes \mathcal{V} \to \mathfrak{g}$を導入し、すべての$a \in \mathfrak{g}, v \in V, \phi \in \mathcal{V}$に対して$B_0(a, \Phi_\rho(v \otimes \phi)) = \langle \rho(a \otimes v), \phi \rangle$を満たすことで、整合性条件を定義する。これにより五重対が標準的であることが保証される。
• 帰納的関係を用いて、$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$としてgraded Lie代数を構成し、$\mathfrak{g} \simeq V_0$, $V \simeq V_1$, $\mathcal{V} \simeq V_{-1}$を埋め込む。
• 帰納的に、正次数付き$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$-加群$\tilde{U}^+ = \bigoplus_{m \geq 0} U_m^+$および負次数付き加群$\tilde{U}^- = \bigoplus_{m \leq 0} U_m^-$を定義し、$U_0^+ \simeq U$および$U_0^- \simeq U$が$\mathfrak{g}$-加群として同型となるようにする。
• もし$B_0$が対称的であり、$(\mathfrak{g}, \pi, U, \mathcal{U}, B_0)$が標準五重対であれば、$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$および$\tilde{U}^+$が連鎖律を用いてより大きなgraded Lie代数へ埋め込まれることを証明する。
• Killing形式および固有空間分解を用いて同型を検証する。例として、$L(L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0), \tilde{\pi}^+, \tilde{U}^+, \tilde{\mathcal{U}}^-, B_L) \simeq \mathfrak{sl}_4$が得られ、結果として得られる代数がよく知られた単純Lie代数に同型であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元標準四重対からのgraded Lie代数の構成を、無限次元設定へどのように一般化できるか？
• RQ2 標準五重対から構成されたLie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$が適切に定義されており、元の対象を埋め込めるための条件は何か？
• RQ3 与えられた$\mathfrak{g}$-加群$U$から、$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$の正および負の次数付き加群を体系的に構成できるか？
• RQ4 どのような条件下で、Lie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$およびそのgraded加群$\tilde{U}^+$をより大きなgraded Lie代数に埋め込めるか？
• RQ5 対称的双線形形式$B_0$は、このような埋め込みを可能にし、総代数への誘導された形式の非退化性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の標準五重対$(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$から、$\mathfrak{g} \simeq V_0$, $V \simeq V_1$, $\mathcal{V} \simeq V_{-1}$を埋め込むgraded Lie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0) = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n$を構成する。
• もし$B_0$が対称的であれば、双線形形式$B_0$は、$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$上に非退化で対称的かつ不変な双線形形式$B_L$へ拡張され、$V_0 \times V_0$への制限が$B_0$に一致する。
• 本稿は、正次数付き$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$-加群$\tilde{U}^+ = \bigoplus_{m \geq 0} U_m^+$および負次数付き加群$\tilde{U}^- = \bigoplus_{m \leq 0} U_m^-$を構成し、$U_0^+ \simeq U$および$U_0^- \simeq U$が$\mathfrak{g}$-加群として同型となる。
• もし$B_0$が対称的であり、$(\mathfrak{g}, \pi, U, \mathcal{U}, B_0)$が標準五重対であれば、Lie代数$L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0)$およびその加群$\tilde{U}^+$は連鎖律を用いてより大きなgraded Lie代数へ埋め込まれる。
• 具体的な例として、$L(L(\mathfrak{g}, \rho, V, \mathcal{V}, B_0), \tilde{\pi}^+, \tilde{U}^+, \tilde{\mathcal{U}}^-, B_L) \simeq \mathfrak{sl}_4$が得られ、結果として得られる代数がよく知られた単純Lie代数に同型であることを示している。