[論文レビュー] Lie groupoids and algebroids applied to the study of uniformity and homogeneity of material bodies

Víctor Manuel Jiménez, Manuel de León+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Elasticity and Material Modeling参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、均質性と均一性を特徴付けるために、物質群作用素（material groupoid）とその関連する物質代数（material algebroid）— すなわち、Lie 群作用素とその Lie 代数 — を導入する。物質代数に符号する微小対称性を局所的および大域的均質性に関連付けることで、従来の G 構造的手法を一般化し、機能的勾配材料のような非均一材料の解析を可能にする。

ABSTRACT

A Lie groupoid, called extit{material Lie groupoid}, is associated in a natural way to any elastic material. The corresponding Lie algebroid, called extit{material algebroid}, is used to characterize the uniformity and the homogeneity properties of the material. The relation to previous results in terms of $G-$structures is discussed in detail. An illustrative example is presented as an application of the theory.

研究の動機と目的

• 連続体力学における物質対称性を分析するための、Lie 群作用素と代数に基づく幾何的枠組みを構築すること。
• G 構造理論が均一な物体にしか適用できないという限界を、群作用素理論を用いることで非均一材料を含める形で克服すること。
• 物質代数の性質、特にベクトル場の定数性を通じて、局所的および大域的均質性を特徴付けること。
• 例えばタイプ A スメクティック液晶のような単純材料において、構成方程式から直接物質代数を構成することを示すこと。
• Noll の均一性および局所的均質性の概念を含む、物質対称性に関する先行研究を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 物質群作用素を、物質体の異なる点における接空間間のすべての物質同型写像の集合として定義する。これらの写像は機械的応答を保存する。
• 物質群作用素の無限小版として、局所的対称性を符号化する関連する物質 Lie 代数を構成する。
• 1-jet 群作用素 Π¹(B,B) 内の Lie 部分群作用素の可積分性を用いて、大域的対称性と物質代数の構造を関連付ける。
• Cosserat 媚体としてモデル化された単純な液体結晶のクラスに理論を適用し、その構成方程式を用いて物質代数を直接導出する。
• 計量およびベクトル場 e の偏微分の消滅を分析することで、均質性を特徴付ける。これにより座標不変性に関する条件が得られる。
• 標準座標系が均質である場合、局所的均質性が大域的均質性を意味することを確立し、これはその座標系でベクトル場 e が定数であることに等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie 群作用素と Lie 代数を用いることで、G 構造理論の範囲を超えて物質の均一性をどのように一般化できるか。
• RQ2 物質代数にどのような条件が課されると、物質体の局所的および大域的均質性が保証されるか。
• RQ3 タイプ A スメクティック液晶のような単純材料の構成方程式から、物質代数を直接どのように構成できるか。
• RQ4 座標系におけるベクトル場 e の定数性が、物質体の均質性とどのように関係するか。
• RQ5 1-jet 群作用素内の Lie 部分群作用素の可積分性と、均一性および均質性の物理的性質との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 物質代数は、均一性および均質性の完全な無限小的特徴付けを提供し、従来の G 構造に基づく手法を一般化する。
• 物質体が局所的に均質であるための必要十分条件は、標準座標系でベクトル場 e が定数であること、すなわち e = λⁱ∂/∂xⁱ かつ λⁱ が定数であることである。
• 標準座標系が均質である場合、局所的均質性は大域的均質性を意味する。これは、その座標系で計量成分が定数であることに等しい。
• 均質性の条件は、∂eⁱ/∂xᵏ = 0 および ∂Fˡᵐ/∂xᵏ = 0 に簡略化され、物質空間と環境空間の座標変換がアフィン変換であることを示唆する。
• 単純材料、特にタイプ A スメクティック液晶において、構成方程式から物質代数を構成することが可能であり、直接的な幾何的解析が可能になる。
• 本枠組みは、G 構造手法が非推移的対称性の欠如により失敗するため、機能的勾配材料のような非均一材料に対しても成功裏に拡張可能である。