[論文レビュー] Lie groups, Nahm's equations and hyperkaehler manifolds

Roger Bielawski|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、半単純リー群の随伴軌道上におけるハイパーカーラー計量の構成をナーム方程式を用いて探求し、これらの計量がリー代数内の経路の無限次元空間のハイパーカーラー還元によって生じることを示している。主な貢献は、すべての完全なハイパーカーラー構造が、特定のモジュライ空間 ${\mathcal{M}}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ に同型であると特徴づけることであり、特に $SU(k)$ の場合、スペクトル曲線およびコンパクト化ジャコビアンとの明示的関係が示されている。

ABSTRACT

Lectures given at the summer school on Algebraic Groups, Goettingen, June 27 - July 15 2005

研究の動機と目的

• ナーム方程式を用いた随伴軌道上におけるハイパーカーラー計量の体系的構成を確立すること。
• ハイパーカーラー還元およびケーラー還元の観点から、これらの計量の幾何学的および表現論的意義を明確にすること。
• ${\mathcal{M}}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ 上のハイパーカーラー構造と軌道 ${\mathcal{O}}_{\tau_1}$ 上のケーラー構造の関係を、特に対称的な場合に探ること。
• スペクトル曲線およびコンパクト化ジャコビアンが、これらのハイパーカーラー構造を代数的に記述する役割を果たすかを調査すること。
• ヒルベルト対称空間のような特別な場合を除き、このような代数的構成がなぜ一般に得られないのかという謎を解明すること。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{g}$ 内の経路の空間 $\mathcal{A}$ を、無限次元フラット幾何のモデルとして用いる。
• ゲージ群 $\mathcal{G}$ 及びその部分群 $\mathcal{G}_0$ を用いて商構成 $\mathcal{A}/\mathcal{G}_0 \simeq G$ を定義し、$G$ 上に双対不変計量を誘導する。
• 経路空間 $\mathcal{A}^\mathbb{C}$ を複素化することで、ハミルトニアン $G$-作用とそのモーメント写像 $\mu = \dot{T}_1 + [T_0, T_1]$ を持つケーラー構造を得る。
• 三つの複素構造に対応するモーメント写像の三重組 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ を用いて、$\mathcal{A}^\mathbb{C}$ 上のハイパーカーラー還元を適用する。
• 固定された留数 $\tau_1, \tau_2, \tau_3$ を持つナーム方程式の解空間として、ハイパーカーラーモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ を構成する。
• 方程式 $\det(\eta \cdot 1 - (\tau_2 + i\tau_3) - 2i\tau_1\zeta + (-\tau_2 + i\tau_3)\zeta^2) = 0$ で定義されるスペクトル曲線 $S$ を、コンパクト化ジャコビアン $\overline{J^{g-1}(S)}$ の幾何と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナーム方程式を用いて、半単純リー群の随伴軌道上におけるハイパーカーラー計量をどのように構成できるか？
• RQ2 ${\mathcal{M}}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ 上のハイパーカーラー構造と ${\mathcal{O}}_{\tau_1}$ 上のケーラー構造との正確な関係は何か？
• RQ3 ${\mathcal{M}}_{\tau_1,0,0}$ 上のハイパーカーラー計量は、特にシータ関数やコンパクト化ジャコビアンを用いて代数的に記述可能か？
• RQ4 スペクトル曲線 $S$ が ${\mathcal{M}}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ のハイパーカーラー幾何をどのように符号化しているか？
• RQ5 コンパクト化ジャコビアン $\overline{J^{g-1}(S)}$ が、商 $\mathcal{O}_{\tau_2+i\tau_3}/SU(k)$ に対応する実構造を持つのはどのような条件下か？

主な発見

• モジュライ空間 $\mathcal{M}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ は、随伴軌道上における完全かつ代数的なハイパーカーラー計量の構成を提供し、既知のケースを一般化している。
• 定理 2.2 は、ハイパーカーラー $G$-作用と局所的トランスティヴな $G^\mathbb{C}$-作用を持つ任意の完全なハイパーカーラー多様体が、ある $\mathcal{M}_{\tau_1,\tau_2,\tau_3;\sigma}$ に $G$--equivariant に同型であることを確立しており、それらの普遍性を示している。
• $G = SU(k)$ の場合、スペクトル曲線 $S$ がノードのみを持つとき、$\mathcal{O}_{\tau_2+i\tau_3}/SU(k)$ と $\overline{J^{g-1}(S)} - \Theta$ の連結成分との間で、自然な代数的同型が存在する。
• 曲線 $S$ は、反正則自己同型 $\zeta \mapsto -1/\bar{\zeta}, \eta \mapsto -\eta/\bar{\zeta}^2$ に関して不変であり、これにより $H^1(S, \mathcal{O}_S)$ 上に実構造が誘導され、実ラインバンドルの定義が可能になる。
• ハイパーカーラー計量の構成は、ビクワールの意味で代数的であるが、ヒルベルト対称空間のような特別な場合を除き、一般には代数的公式は知られていない。
• ${\mathcal{M}}_{\tau_1,0,0}$ 上のハイパーカーラー構造は未だ謎のままだが、$S$ 上の有理型シータ関数の使用は、コンパクト化ジャコビアンを介した将来的な道筋を示唆している。