[論文レビュー] Lie superalgebra structures in cohomology spaces of Lie algebras with coefficients in the adjoint representation

Alexei Lebedev, Dimitry Leites+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Nijenhuis括弧を用いて、自己表現における係数をもつLie（超）代数のコホモロジーおよびコチェイン複体にLie超代数および微分付きLie超代数（DG Lie超代数）構造を構成する。特に、単純Lie代数の最大可解部分代数および例外的ケース（$frak{g}_2$、$frak{sl}(2)$、$frak{sl}(3)$）に対して、明示的に得られる代数構造を記述し、Lie代数が可換である場合、コホモロジー代数が$frak{vect}(dim \Pi(frak{n}))$に同型になることを示している。

ABSTRACT

The space of Lie algebra cohomology is usually described by the dimensions of components of certain degree even for the adjoint module as coefficients when the spaces of cochains and cohomology can be endowed with a Lie superalgebra structure. Such a description is rather imprecise: these dimensions may coincide for cohomology spaces of distinct algebras. We explicitely describe the Lie superalgebras on the space of cohomology of the maximal nilpotent subalgebra of any simple finite dimensional Lie algebra. We briefly review related results by Grozman, Penkov and Serganova, Poletaeva, and Tolpygo. We cite a powerful Premet's theorem complementary to the Borel-Weil-Bott theorem. We mention relations with the Nijenhuis bracket and nonholonomic systems.

研究の動機と目的

• 自己表現を係数にもつLie代数のコホモロジーおよびコチェイン複体にLie超代数およびDG Lie超代数構造を構成すること。
• 単純な有限次元Lie代数の最大可解部分代数$frak{n}$に対して、$\mathfrak{l}_{\bullet} = \Pi(H^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$の構造を分析すること。
• 例外的Lie代数（例：$frak{g}_2$、$frak{sl}(2)$、$frak{sl}(3)$）に対して、$\mathfrak{l}_{\bullet}$の明示的実現を計算すること。
• Lie代数$frak{n}$が可換である場合に、$\mathfrak{l}_{\bullet} \cong \mathfrak{vect}(\dim \Pi(\mathfrak{n}))$となることを示すこと。
• これらの構造が、超多様体$\hat{M} = (M, \Omega(M))$上の外微分の中心化子としてのベクトル場として関連することを明らかにすること。

提案手法

• Nijenhuis括弧を用いて、$\Pi(C^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$にLie超代数構造を定義し、これは超多様体$\hat{M} = (M, \Omega(M))$における外微分$d$の中心化子と解釈される。
• コホモロジー複体$H^{\bullet}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n})$はパリティファンクタ$Pi$を作用させることで変換され、$\mathfrak{l}_{\bullet} = \Pi(H^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$が得られ、これにDG Lie超代数構造が付与される。
• この構成は、外微分$d$を超多様体$\hat{M} = (M, \Omega(M))$上の次数1のホモロジー的ベクトル場と解釈することに依拠している。ここで$M$は多様体であり、$\Omega(M)$はそのde Rham超バンドルである。
• 可換な$frak{n}$（例：$G/P$型のヒルベルト対称空間）では、微分$d$が消えるため、$\mathfrak{l}_{\bullet} \cong \mathfrak{vect}(\dim \Pi(\mathfrak{n}))$となり、これは単純Lie超代数である。
• 本稿では、計算機支援計算を用い、Premetの定理を応用して、非$frak{g}$-加群$N$に対する$H^i(\mathfrak{n}; N)$を計算し、例外的ケースにおける明示的計算を可能としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie超代数$\mathfrak{n}$に対して、$\Pi(C^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$に生じるLie超代数構造は何か？ また、Nijenhuis括弧とどのように関係するか？
• RQ2 コホモロジー代数$H^{\bullet}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n})$がパリティファンクタ$\Pi$によってどのように変換され、$\mathfrak{l}_{\bullet} = \Pi(H^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$に生じるDG Lie超代数構造は何か？
• RQ3 $\mathfrak{g}_2$の最大可解部分代数$\mathfrak{n}$に対して、$\mathfrak{l}_{\bullet}$の明示的構造は何か？ また、普遍的または原型的形をとるか？
• RQ4 Hermitian対称空間$G/P$の例のように、$\mathfrak{n}$が可換である場合、$\mathfrak{l}_{\bullet}$はどのように変化するか？ そして$\mathfrak{vect}(\dim \Pi(\mathfrak{n}))$に同型になるか？
• RQ5 $\mathfrak{n} = \mathfrak{vect}(M)$の場合、$\mathfrak{L}_{\bullet}$にホモロジー的要素（$[x,x] = 0$を満たす奇数次元要素$x$）はどのように現れるか？

主な発見

• 任意のLie超代数$\mathfrak{n}$に対して、空間$\mathfrak{L}_{\bullet} = \Pi(C^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$はNijenhuis括弧によってDG Lie超代数構造を誘導する。
• コホモロジーに基づく代数$\mathfrak{l}_{\bullet} = \Pi(H^{\bullet+1}(\mathfrak{n}; \mathfrak{n}))$はDG Lie超代数であり、コチェイン上のNijenhuis括弧によって誘導された構造を持つ。
• 可換な$\mathfrak{n}$（例：ヒルベルト対称空間$G/P$）では、微分$d$が消えるため、$\mathfrak{l}_{\bullet} \cong \mathfrak{vect}(\dim \Pi(\mathfrak{n}))$となり、これは単純Lie超代数である。
• $\mathfrak{g}_2$に対しては、$\mathfrak{l}_{\bullet}$が原型的構造をとると予想され、本稿ではその完全な形が明示的に記述されている。
• $\mathfrak{sl}(2)$および$\mathfrak{sl}(3)$に対しては、本稿では$\mathfrak{l}_{\bullet}$を明示的に計算し、非自明なDG Lie超代数構造を示している。
• 本稿では、ホモロジー的要素（奇数次元$x$で$[x,x] = 0$を満たすもの）を$\mathfrak{L}_{\bullet}$に列挙しており、特に$\mathfrak{n} = \mathfrak{vect}(M)$の場合に、コチェイン複体におけるこのような要素の明示的例を提供している。