[論文レビュー] Lie symmetry analysis of nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube

Mehdi Nadjafikhah, Vahid Shirvani-Sh|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、粘弾性管内の非線形波をモデル化する5次非線形発展方程式にリー対称性解析を適用する。1次および2次元のリー部分代数の最適系を構成することで、対称性還元を用いて群不変解を導出し、元の偏微分方程式（PDE）を常微分方程式（ODE）に簡略化し、ヤコビ楕円関数を用いてガリレオ不変解および移動波解を含む明示的解が得られる。

ABSTRACT

In this paper, the Lie symmetry method is performed for the nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube. we will find one and two-dimensional optimal system of Lie subalgebras. Furthermore, preliminary classification of its group-invariant solutions are investigated.

研究の動機と目的

• 粘弾性管内における非線形波動の伝播をモデル化する5次非線形発展方程式のリー対称性を解析すること。
• この方程式の1次および2次元のリー部分代数の最適系を構成すること。
• 対称性還元を用いた群不変解の予備的分類を行うこと。
• 対称性生成子から導かれる不変座標を用いて、元のPDEを常微分方程式（ODE）に還元すること。
• 還元されたODEを用いて、ガリレオ不変解および移動波解を含む明示的解析解を導出すること。

提案手法

• 5次微分のための延長公式を用いて、方程式の無限小生成子を特定するリー点対称性法を適用する。
• 対称性群の作用下での方程式の不変条件を計算し、無限小量の決定系を導出する。
• 随伴作用の分析とベクトル場の同値類の分類により、1次および2次元部分代数の最適系を構成する。
• 特性法を用いて対称性生成子の不変量を特定し、還元用の新しい座標を定義する。
• 新しい座標における合成法則を用いて、元のPDEを各対称性ケースごとに簡略化したODEに変換する。
• 得られたODEを解析的に解く。これにはヤコビ楕円関数を含むケースと有理関数解を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘弾性管内の非線形波を記述する5次非線形発展方程式が許容する完全なリー対称性の集合は何か？
• RQ2 この方程式の1次および2次元のリー部分代数の最適系はどのように構成できるか？
• RQ3 対称性に基づく座標変換を用いてPDEを還元することで得られる群不変解は何か？
• RQ4 対称性還元プロセスからどのような明示的解析解が得られるか、特にガリレオ不変および移動波ケースにおいては？
• RQ5 方程式に含まれる定数が還元されたODEの構造およびその解の形にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 方程式は5次元のリー代数の対称性を有し、時間並進、空間並進、ガリレオブースト、スケーリング型変換を含む生成子を持つ。
• 1次元部分代数の最適系が構成され、代表元として ∂ₜ、∂ₓ、t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ、および t∂ₓ と ∂ₜ を含む組み合わせが含まれる。
• ガリレオ不変対称性 t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ の場合、解は u(x,t) = (x + a c₁)/(a t) に還元され、t および x に関する有理関数解となる。
• 移動波対称性 c₀∂ₓ + ∂ₜ の場合、還元されたODEはヤコビ楕円関数を用いた周期的解を有する：ζ = a₀ + A sn⁴(mχ,k) + B sn(mχ,k) d/dχ sn(mχ,k)。
• 対称性 ∂ₜ は還元ODE aζζₓ + bζₓ³ + cζₓ⁴ + dζₓ⁵ - eζₓ² = 0 を導出し、空間的に定常な解を支持する。
• 対称性 ∂ₓ は、条件 ζₓ = 0 から導かれる、時間に対して定数である u(x,t) = c という自明な解をもたらす。