[論文レビュー] Lieb-Thirring type inequalities for non self-adjoint perturbations of magnetic Schr\\"odinger operators

Diomba Sambou|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、次元 $2d$ および $2d+1$ の磁気シュレーディンガー作用素の非自己共役摂動に対して、Lieb-Thirring型不等式を確立し、ランドウ準位の周辺における離散固有値の分布に関する $a\text{ priori}$ 界を提供する。スランダライズド・リゾルベントの推定と複素解析的手法を用いて、$L^p$-ノルムにおける固有値クラスタの境界を証明し、$L^p$-可積分かつ有界なポテンシャル摂動下での、ランドウ準位周辺における収束速度および局在化の定量的評価を実現する。

ABSTRACT

Let $H := H_{0} + V$ and $H_{\\perp} := H_{0,\\perp} + V$ be respectively perturbations of the free Schr\\"odinger operators $H_{0}$ on $L^{2}\\big(\\mathbb{R}^{2d+1}\\big)$ and $H_{0,\\perp}$ on $L^{2}\\big(\\mathbb{R}^{2d}\\big)$, $d \\geq 1$ with constant magnetic field of strength $b>0$, and $V$ is a complex relatively compact perturbation. We prove Lieb-Thirring type inequalities for the discrete spectrum of $H$ and $H_{\\perp}$. In particular, these estimates give $a\\, priori$ information on the distribution of the discrete eigenvalues around the Landau levels of the operator, and describe how fast sequences of eigenvalues converge.

研究の動機と目的

• 非自己共役摂動を受ける磁気シュレーディンガー作用素の離散スペクトルに対する定量的 Lieb-Thirring 型不等式を、$\mathbb{R}^{2d}$ および $\mathbb{R}^{2d+1}$ で導出すること。
• 一定磁場によって誘発されるランドウ準位の周辺における離散固有値の分布および収束速度に関する $a\text{ priori}$ 評価を提供すること。
• 固有値数関数の $L^p$-ノルムを、ポテンシャルの $L^p$ および $L^\infty$ ノルムの観点から確立すること。
• 複素相対コンパクト摂動 $V$ の下で、$H = H_0 + V$ および $H_\perp = H_{0,\perp} + V$ のスペクトル的挙動を分析すること。
• 無限多重度のランドウ準位を有する状況において、古典的 Lieb-Thirring 評価を非自己共役設定に拡張すること。

提案手法

• 磁気ハミルトニアンの構造を活用し、$L^p$-シャテンノルムにおける $F(H_0 - \lambda)^{-1}G$ および $F(H_{0,\perp} - \lambda)^{-1}$ のスランダライズド・リゾルベント推定を用いる。
• 複素解析を応用し、M"obius 変換 $\varphi_\mu(\lambda) = (\lambda - \mu)^{-1}$ を用いてスペクトル領域を写像し、$\lambda$-平面上の距離推定を $\varphi_\mu(\lambda)$-平面上の距離推定に結びつける。
• スペクトル集合 $A = \bigcup_j B(\Lambda_j, 2r_j)$ および $D = \mathbb{C} \setminus A$ を定義し、$r_j = \text{dist}(\Lambda_j, E \setminus \{\Lambda_j\}) = 2b$ として、固有値が蓄積する可能性がある領域を分離する。
• 距離推定の導出：$\lambda \in A$ に対して $\text{dist}(\varphi_\mu(\lambda), \varphi_\mu(E)) \geq C \cdot \text{dist}(\lambda, E) / (1 + \|V\|_\infty)^2 (1 + |\lambda|)^2$。
• Weyl の基準およびFredholm理論を用いて、$H_0$ の本質的スペクトルが $[\Lambda_0, \infty)$ であり、$H_{0,\perp}$ の本質的スペクトルが $\{\Lambda_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ であることを特定し、離散スペクトルがそれらにのみ蓄積されることを保証する。
• Schatten ノルムを用いた $L^p$-境界の確立：$\sum_{\lambda \in \sigma_d(H_\perp)} \frac{\text{dist}(\lambda, E)^p}{(1 + |\lambda|)^{2p}} \leq C_1 \|F\|_{L^p}^p (1 + \|V\|_\infty)^{2p}$ で、$C_1$ は $p$, $b$, $d$ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役摂動を受ける磁気シュレーディンガー作用素に対して、Lieb-Thirring 型不等式をどのように拡張できるか？
• RQ2 複素的かつ相対コンパクトなポテンシャル下で、ランドウ準位付近の $L^p$-ノルムにおける離散固有値の定量的境界はどのように得られるか？
• RQ3 $V$ が複素かつ $|V(x)| \leq C F(x) G(x)$ を満たし、$F \in L^p$, $G \in L^2 \cap L^\infty$ であるとき、$H = H_0 + V$ および $H_\perp = H_{0,\perp} + V$ のスペクトル的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 複素平面におけるスペクトル距離を関連付けるために、M"obius 変換 $\varphi_\mu(\lambda) = (\lambda - \mu)^{-1}$ が果たす役割は何か？
• RQ5 Schatten ノルム推定を用いて、ランドウ準位付近における固有値列の収束速度および局在化を定量的に評価できるか？

主な発見

• 本稿は、$H_\perp = H_{0,\perp} + V$ の離散スペクトルに対する $L^p$-ノルム境界を確立し、$\sum_{\lambda \in \sigma_d(H_\perp)} \frac{\text{dist}(\lambda, E)^p}{(1 + |\lambda|)^{2p}} \leq C_1 \|F\|_{L^p}^p (1 + \|V\|_\infty)^{2p}$ を示し、$C_1 = C(p, b, d)$ である。
• 集合 $D = \mathbb{C} \setminus \bigcup_j B(\Lambda_j, 2r_j)$ に対して、$\frac{1}{2} \text{dist}(\lambda, E) \leq \text{dist}(\lambda, I) \leq \text{dist}(\lambda, E)$ が成り立ち、本質的スペクトルへの距離が制御される。
• 集合 $A = \bigcup_j B(\Lambda_j, 4b)$ に対して、変換された距離は $\text{dist}(\varphi_\mu(\lambda), \varphi_\mu(E)) \geq C \cdot \frac{\text{dist}(\lambda, E)}{(1 + \|V\|_\infty)^2 (1 + |\lambda|)^2}$ を満たし、変換平面における一様な制御が可能になる。
• $H_\perp$ の本質的スペクトルは $\{\Lambda_j\}_{j \in \mathbb{N}}$、$H$ の本質的スペクトルは $[\Lambda_0, \infty)$ であり、離散スペクトルはこれらにのみ蓄積する。
• 本手法は、シャテンクラスにおけるリゾルベント推定と M"obius 変換を用いて、複素平面からのスペクトル情報の転送を可能にし、有界領域への写像により一様な $L^p$-境界を確立する。
• 結果として、$V$ が非自己共役であっても、ランドウ準位付近における固有値の分布および密度に対する $a\text{ priori}$ 制御が得られ、古典的 Lieb-Thirring 不等式が磁気的および非ヒルベルト的設定に一般化される。