[論文レビュー] Lifting from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree

Shuichi Hayashida|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、1次元の半整数重モジュラー形式の固有形式の対から、偶数次元の半整数重スiegelモジュラー形式への上げ上げを構成し、Miyawaki-Ikedaの上げ上げを一般化する。主な革新は、一般化されたCohen-Eisenstein級数に対する一般化されたMaass関係式であり、それが非自明に消えない限り、得られる形式が固有形式であり、計算可能なL関数を持つことを保証する。数値的に複数の(n,k)対についてその非消滅性が確認されている。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show lifts from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree under the assumption that the constructed Siegel modular form is not identically zero. The key of the proof is to introduce a certain generalization of the Maass relation for Siegel modular forms of half-integral weight of general degree.

研究の動機と目的

• 1次元の半整数重モジュラー形式の固有形式の対から、2次以上の半整数重スiegelモジュラー形式への上げ上げに関するIbukiyama-Hayashida予想を、度数2を超えて一般化すること。
• 偶数次元のスiegelモジュラー形式に対して、半整数重のMiyawaki-Ikeda上げ上げの類似を確立すること。
• 構成されたスiegelモジュラー形式が、恒等的にゼロでない限り、固有形式であることを証明すること。
• 持ち上げられた形式のL関数を計算し、入力モジュラー形式のL関数と関係づけること。
• 特定の(n,k)対について、数値的に持ち上げの非消滅性を検証すること。

提案手法

• 持ち上げは、3つの写像の合成として構成される：Ikedaの持ち上げ、Fourier-Jacobi展開写像、およびインデックス1のジャコビ形式と半整数重スiegelモジュラー形式との間の同型写像。
• Fourier-Jacobi係数を制御する中心的技術的道具として、半整数重一般化Cohen-Eisenstein級数に対する一般化されたMaass関係式を導入する。
• 証明は、一般化されたMaass関係式を用いて、持ち上げられた形式が非消滅の場合にヘッケ作用素の固有形式であることを示す。
• 持ち上げられた形式のL関数は、入力形式のp進パラメータを用いて、修正されたZhuravlevのL関数構成法により計算される。
• 非消滅性の数値的検証は、計算機代数システムを用い、Katsuradaの公式を用いて中間のスiegelモジュラー形式のフーリエ係数を計算することで実施される。
• 具体的な例（例：(n,k) = (2,10)）において非ゼロのフーリエ係数が得られることを確認することで、構成の妥当性を検証した。内積と基底展開を用いた明示的な係数恒等式を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の半整数重モジュラー形式の固有形式の対から、偶数次元の半整数重スiegelモジュラー形式への持ち上げを構成し、それが固有形式を生むことを証明できるか？
• RQ2 持ち上げられたスiegelモジュラー形式の固有形式性を保証するフーリエ・ジャコビ係数間の一般化された関係は何か？
• RQ3 持ち上げられた形式のL関数は、入力モジュラー形式のL関数とどのように関係するか？
• RQ4 構成されたスiegelモジュラー形式が恒等的にゼロでなくなる条件は何か？
• RQ5 特定の(n,k)対について、持ち上げの非消滅性を計算的に検証できるか？

主な発見

• h ∈ S_{k−n+1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4)) および g ∈ S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4)) なる固有形式の対から、偶数kおよびn ≥ 0 に対して、非自明な固有形式 F_{h,g} ∈ S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(2n−2)}(4)) が得られる。
• 持ち上げられた形式のL関数は、L(s, F_{h,g}) = L(s,g) × ∏_{i=1}^{2n−3} L(s−i,h) と明示的に表され、入力形式のL関数と関係づけられる。
• F_{h,g} のp進パラメータは {β_p^±, p^{n−2}α_p^±, ..., p^{−n+2}α_p^±} で与えられ、関数等式の構造が確認される。
• (n,k) = (2,10) の場合、M = [[3,1],[1,3]] および m=3 に対して、非ゼロフーリエ係数 K(M,m) = -968 が得られ、F_{h,g} が非消滅であることが示された。
• 非消滅性は、(2,12) から (2,18)、(3,12) から (3,20)、(4,10) から (4,20)、(5,14) から (5,20)、(6,12) から (6,20) の20組の追加(n,k)対についても数値的に確認された。
• 一般化されたCohen-Eisenstein級数に対する一般化されたMaass関係式（定理7.6）が証明され、固有形式性およびL関数計算を可能にする基盤的技術的結果として機能している。