[論文レビュー] Lifting of curves with automorphisms

Andrew Obus|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性における代数的曲線の群作用を伴う上昇問題を調査し、そのような曲線およびその自己同型が特性 0 に上昇可能となる条件に焦点を当てる。ガロア理論、分岐理論、変形理論の技術を統合し、主な結果としてオールト予想の解決および高次分岐群とハッセ＝アルフの定理を用いた障害の特徴付け（特に野生的分岐の設定において）を含む。

ABSTRACT

The lifting problem for curves with automorphisms asks whether we can lift a smooth projective characteristic p curve with a group G of automorphisms to characteristic zero. This was solved by Grothendieck when G acts with prime-to-p stabilizers, and there has been much progress over the last few decades in the wild case. We survey the techniques and obstructions for this lifting problem, aiming at a reader whose background is limited to scheme theory at the level of Hartshorne's book. Throughout, we include numerous examples and clarifying remarks. We also provide a list of open questions.

研究の動機と目的

• 正の特性における有限群の自己同型作用をもつ滑らかで射影的曲線が特性 0 に上昇可能となる条件を理解すること。
• 野生的分岐がそのような上昇を妨げるか、あるいは可能にする要因として果たす役割を分析すること。
• 特に $ p $ が自己同型群の位数を割る場合の野生的ケースにおいて、上昇問題の最新の状況を調査すること。
• 分岐フィルトレーションとハッセ＝アルフの定理を用いて、局所的およびグローバルな上昇障害の関係を明確化すること。
• スキーム論的背景を持つ研究者を対象に、包括的でアクセス可能な概要を提供すること、ならびに未解決問題を提示すること。

提案手法

• 素数 $ p $ と互いに素な安定化子をもつ上昇に関するグロテンディークの基礎的結果を出発点とする。
• 下位および上位番号付けの両方の高次分岐群の理論を用いて、局所的上昇障害を分析する。
• リーマン＝フルイツの公式および $ \delta = \sum_{i=0}^\infty (|G_i| - 1) $ の異なる公式を用いて、野生的分岐下での genus 変化を関連付ける。
• 中心的な結果として、グリーン＝マティニオンらによる証明済みのオールト予想を用いる：任意の $ \mathbb{Z}/p $-拡張は、上位ジャンプが $ \geq 1 $ であれば特性 0 に上昇可能である。
• 変形理論的手法およびウィット環 $ W(k) $ の使用により、局所データから上昇を構成する。
• ハッセ＝アルフの定理を用いて、特に $ p $-拡張の文脈において、可能な上位ジャンプを制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における有限群作用をもつ曲線が特性 0 に上昇可能となる条件は何か？
• RQ2 群作用に野生的分岐（つまり $ p $ が群の位数を割る）がある場合、上昇の障害は何か？
• RQ3 ガロア拡張における上位および下位分岐フィルトレーションは、上昇問題とどのように関係するか？
• RQ4 任意の局所体上の $ \mathbb{Z}/p $-拡張は特性 0 に上昇可能か？上位ジャンプはその際に果たす役割は何か？
• RQ5 曲線の genus と正の特性における分岐データとの関係は何か？そして、これは上昇にどのように影響するか？

主な発見

• 自己同型群が $ p $ と互いに素な安定化子をもつ場合、グロテンディークにより上昇問題は完全に解決されている。
• オールト予想が確認された：任意の局所体上の $ \mathbb{Z}/p $-拡張は、上位ジャンプが 1 以上であるときかつそのときに限り、特性 0 に上昇可能である。
• アーベル的 $ p $-拡張において、上位ジャンプは有理数であり、ハッセ＝アルフの定理により整数であることが保証される。
• 曲線の genus は野生的分岐の下で増加する。これは $ \delta = \sum_{i=0}^\infty (|G_i| - 1) $ の異なる公式によるもので、$ G $ が非自明かつ $ p $-可除であるとき、これは $ |G| - 1 $ よりも厳密に大きい。
• 特性 $ p $ における $ \mathbb{A}^1 $ の $ \mathbb{Z}/p $-被覆が無限個の線形独立なものをもつことから、エタール基本群が有限生成ではないことが示される。
• 本稿は、非アーベル的 $ G $ に対する上昇可能な $ G $-被覆の完全分類という未解決問題のリストを提示する。