[論文レビュー] Lifting systems of Galois representations associated to abelian varieties

Rutger Noot|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体に付随するガロア表現の『弱幾何的リフト』を導入し、Fontaine–Mazurの意味で幾何的性質を保ちつつ、導来群のアイソグニーを介して表現をリフトすることに注力する。任意の数体上のアーベル多様体に対して、有限次拡大をとることで、単連結な導来群をもつ群への弱幾何的リフトが存在することを証明し、特定の状況下でFontaine–Mazur予想を確認するとともに、リフトがアーベル多様体から来ない場合の部分的結果も得る。

ABSTRACT

This paper treats what we call `weak geometric liftings' of Galois representations associated to abelian varieties. This notion can be seen as a generalization of the idea of lifting a Galois representation along an isogeny of algebraic groups. The weaker notion only takes into account an isogeny of the derived groups and disregards the centres of the groups in question. The weakly lifted representations are required to be geometric in the sense of a conjecture of Fontaine and Mazur. The conjecture in question states that any irreducible geometric representation is a twist of a subquotient of an étale cohomology group of an algebraic variety over a number field. It is shown that a Galois representation associated to an abelian variety admits a weak geometric lift to a group with simply connected derived group. In certain cases, such a weak geometric lift is itself associated to an abelian variety. This means that the conjecture of Fontaine and Mazur is confirmed for these representations. In other cases, one may find a lift which can not be found back in the etale cohomology of any abelian variety. The Fontaine--Mazur conjecture remains open for these representations. Nevertheless, certain consequences of the conjecture can be established.

研究の動機と目的

• アーベル多様体に付随するガロア表現に対するFontaine–Mazur予想を、より弱いリフト条件を導入することで調査すること。
• 代数群全体ではなく導来群のアイソグニーに注目する『弱幾何的リフト』を定義し、それらを研究すること。
• このようなリフトが、特にアーベル多様体のエタールコホロジーからどのように生じるかを特定すること。
• リフトがアーベル多様体から得られない場合のFontaine–Mazur予想に関する部分的結果を確立すること。
• 群のアイソグニーの文脈において、幾何的共役類とコホモロジー的障害を用いてガロア表現の構造を分析すること。

提案手法

• 中心を無視して、導来群のアイソグニーを介して因数分解する表現として弱幾何的リフトを定義する。
• アーベル多様体 $A$ のMumford–Tate群 $G_A$ を用いて、基本となるガロア表現 $\rho_{A,p}$ を構成する。
• $\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$ が $G_A^{\mathrm{der}}$ の普遍被覆であるような群 $\widetilde{G}$ に $\tilde{\rho}_p$ をリフトする。
• Chebotarevの密度定理とコホモロジー的技法を用いて、フロベニウス元の像が共役類に属するかどうかを分析する。
• ガロアコホモロジーと局所・大域原理を用いて、幾何的共役類写像のファイバーにおける有理点の存在を検証する。
• 捩れの理論と有理点の結果を活用し、特定のファイバーが $\mathbf{Q}$-有理点を含むことを示し、リフトの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアーベル多様体に付随するガロア表現は、単連結な導来群をもつ群への弱幾何的リフトとして常に可能か？
• RQ2 このような弱幾何的リフトが、アーベル多様体のエタールコホロジーの部分商として実現可能となる条件は何か？
• RQ3 リフトがアーベル多様体から来ない場合に、Fontaine–Mazur予想がどの程度まで検証可能か？
• RQ4 コホモロジー的障害と局所的条件は、リフト群における有理共役類の存在にどのように影響するか？
• RQ5 幾何的共役類とそのファイバーは、局所データからグローバルリフトを構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の数体 $F$ 上のアーベル多様体 $A$ に対して、有限次拡大 $F'$ と、$\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$ が単連結となる群 $\widetilde{G}$ への弱幾何的リフト $\tilde{\rho}_p$ が存在する。
• すべての弱幾何的リフトは、単連結な導来群をもつリフトによって支配され、これにより標準的な正規化が可能である。
• 特定の状況下では、弱幾何的リフトはアーベル多様体のエタールコホロジーから生じ、その表現に対してFontaine–Mazur予想が確認される。
• 他の状況では、リフトがいかなるアーベル多様体のエタールコホロジーの部分商としても実現不可能であり、この場合の完全な予想は未解決のまま残る。
• コホモロジー的捩れの議論と局所・大域原理により、共役類写像のファイバーにおける $\mathbf{Q}$-有理点の存在が確立された。
• Chebotarevの密度定理により、フロベニウスの像が特定の悪い集合の外にある場所の集合がDirichlet密度0を持つことが保証され、グローバルリフトの構成が可能になる。