[論文レビュー] Likelihood Robust Optimization for Data-driven Problems

Zizhuo Wang, Peter W. Glynn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、観測された歴史的データの尤度に基づいて分布集合を構築するデータ駆動型の分布的ロバスト最適化フレームワーク、尤度ロバスト最適化（LRO）を提案する。この手法は、統計的に妥当な分布に対するロバスト性を保証する。ポートフォリオ選択および新規ベンダープロブレムにおいて、従来の手法よりもロバスト性と保守性のバランスを取ることで、DRO、SS、EQ手法よりも高い平均リターンと低いリスクを達成し、暗黙的かつ自然に分散投資を促進する。

ABSTRACT

We consider optimal decision-making problems in an uncertain environment. In particular, we consider the case in which the distribution of the input is unknown, yet there is abundant historical data drawn from the distribution. In this paper, we propose a new type of distributionally robust optimization model called the likelihood robust optimization (LRO) model for this class of problems. In contrast to previous work on distributionally robust optimization that focuses on certain parameters (e.g., mean, variance, etc.) of the input distribution, we exploit the historical data and define the accessible distribution set to contain only those distributions that make the observed data achieve a certain level of likelihood. Then we formulate the targeting problem as one of optimizing the expected value of the objective function under the worst-case distribution in that set. Our model avoids the over-conservativeness of some prior robust approaches by ruling out unrealistic distributions while maintaining robustness of the solution for any statistically likely outcomes. We present statistical analyses of our model using Bayesian statistics and empirical likelihood theory. Specifically, we prove the asymptotic behavior of our distribution set and establish the relationship between our model and other distributionally robust models. To test the performance of our model, we apply it to the newsvendor problem and the portfolio selection problem. The test results show that the solutions of our model indeed have desirable performance.

研究の動機と目的

• 真の不確実パラメータの分布が未知である場合に、従来の確率的最適化および分布的ロバスト最適化の限界を克服すること。
• 平均や分散などのモーメントに基づく制約に依存せず、歴史的データを活用するロバスト最適化フレームワークの開発。
• 現実的でない分布を除外することで、既存のロバスト手法における過剰な保守性を低減しつつ、妥当なデータのずれに対しても保護を維持すること。
• 統計的に根拠のある、柔軟性があり、計算的に扱いやすいデータ駆動型意思決定のためのモデルを提供すること。
• 実世界の応用、特にポートフォリオ選択および新規ベンダープロブレムにおけるLROモデルの性能を実証的に検証すること。

提案手法

• LROモデルは、観測された歴史的データに最小尤度閾値を割り当てる確率分布のみを含む分布集合を定義する。
• この尤度に基づく分布集合上で、最悪ケースの期待目的関数を最適化することで、統計的に妥当な分布に対するロバスト性を保証する。
• 尤度集合は、観測データが最小対数尤度レベルを達成することを制約条件とする経験的尤度理論を用いて構築される。
• 得られる最適化問題は凸であり、特に漸近理論を用いて尤度閾値をカイ二乗分布に関連付けることで、計算が容易になる。
• この手法は、モーメントやリスク指標に関する追加の凸制約（例：モーメント制約、リスク制約）の組み込みを可能とし、実用的応用における柔軟性を高める。
• 数値的検証では、2001–2004年のS&P 500の歴史的データを用い、30日間のローリングウィンドウでデータを取得し、LROをSS、EQ、DRO手法と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメントに基づくDROよりも統計的に意味があり、かつ保守性が低い分布的ロバスト最適化モデルをどのように構築できるか？
• RQ2 尤度に基づく分布集合は、現実的でない分布を効果的に除外しつつ、妥当なデータのずれに対するロバスト性を維持できるか？
• RQ3 実世界のデータ駆動型問題において、LROモデルは従来のロバスト最適化および確率的最適化手法と比較して、どのように性能を発揮するか？
• RQ4 LROモデルは、明示的な制約を設けずに、暗黙的かつ自然にポートフォリオの分散投資を促進するか？
• RQ5 尤度に基づく分布集合の漸近的挙動は何か？また、他のDROモデルとどのように関係するか？

主な発見

• S&P 500データを用いた100回の実験において、LROアプローチは単一株式（SS）手法に対して65%のケースで優位であった。また、等ウェート（EQ）手法に対しても60%のケースで優位であった。
• 721日間のテスト期間を通じて、LRO手法はSS手法に対して平均リターンで1.8%の改善を達成し、EQ手法に対しては1.1%の改善を達成した。
• LRO手法の1日当たりリターンの標準偏差は2.3%であり、SS（3.3%）よりも顕著に低く、DRO（2.4%）と同等の水準であった。
• LRO手法は暗黙的かつ自然に分散投資を達成した：52%の確率で1つの株式、39%の確率で2つの株式、8%の確率で3つの株式を選択した。
• 経験的尤度およびベイズ解析を通じて、強い統計的根拠を示した。漸近的性質により、尤度閾値がカイ二乗分布と関連づけられた。
• LROフレームワークは柔軟性があり、モーメントやリスク制約などの追加の凸制約を組み込んでも、凸性と計算の扱いやすさを維持できる。