[論文レビュー] Limit theorem for perturbed random walks

Hoang-Long Ngo, Marc Peigné|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℤ上における空間的に非一様な確率ウォークについて、ℤ⁻とℤ⁺で異なる独立同分布の増分分布をとるが、0で再起動するものに対して、関数中心極限定理を確立し、スケーリング限界として非対称ブラウン運動に弱収束することを示している。非対称性パラメータαは、増分分布の再生関数と遷移確率によって明示的に定義され、対称ベルヌーイステップに限られていた先行研究を、任意の可積分な増分へ一般化するとともに、対称性のない場合の不変性原理を拡張している。

ABSTRACT

We consider random walks perturbed at zero which behave like (possibly different) random walks with i.i.d. increments on each half lines and restarts at $0$ whenever they cross that point. We show that the perturbed random walk, after being rescaled in a proper way, converges to a skew Brownian motion whose parameter is defined by renewal functions of the simple random walks and the transition probabilities from $0$.

研究の動機と目的

• ℤ上における空間的に非一様なランダムウォークのクラスに対して、正の整数と負の整数で異なる増分分布をとる関数中心極限定理を確立すること。
• 対称ベルヌーイステップに限られていた非対称ブラウン運動への収束に関する先行結果を、有限の2階モーメントを持つ任意の独立同分布増分へ一般化すること。
• 極限における非対称ブラウン運動の非対称性パラメータαを、基礎となるランダムウォークの再生関数および初到達確率の観点から特徴づけること。
• 反射原理に依存する以前の証明に欠ける点を克服し、有限次元分布の収束とトータル・バウンドネスを用いたきめ細かい証明により、弱収束を厳密に示すこと。

提案手法

• ℤ⁺とℤ⁻で異なる独立同分布の増分を持つ離散時間マルコフ過程 (X(n)) を定義し、ゼロを越えると0に再起動するものとする。
• 線形補間により (X(n)) から連続時間過程 (X(t)) を構成し、1/√n でスケーリングする。正負の状態ではそれぞれ別個のスケーリング σ と σ′ を用いる。
• 終了時刻および初到達分布のラプラス変換を用いて、特性関数の解析を通じて有限次元分布の収束を証明する。
• ℤ⁺とℤ⁻上のランダムウォークに関連する再生関数 h と h′ を用い、非対称性パラメータ α を期待到達時間および初到達確率の観点から表現する。
• 増分のモーメントバウンドと部分和の上界による連続性のモジュラスの制御を用いて、スケーリング過程のトータル・バウンドネスを確立する。
• 文献[4]の定理7.1を用い、右連続左極限関数のスコロホド空間における弱収束を結論づけ、補間により連続パスに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ⁺とℤ⁻で異なる増分分布をとる摂動付きランダムウォークが、どのような条件下で非対称ブラウン運動に弱収束するか。
• RQ2 極限における非対称ブラウン運動の非対称性パラメータ α は、基礎となる増分分布およびゼロにおける遷移確率によってどのように定義されるか。
• RQ3 非対称ブラウン運動の不変性原理は、対称ベルヌーイステップに限らず、有限の2階モーメントを持つ一般の独立同分布増分へ拡張可能か。
• RQ4 再生関数は、空間的に非一様な拡散過程の極限過程における非対称性を特徴づける上でどのような役割を果たすか。
• RQ5 一般のモーメント条件の下で、非マルコフ的かつ状態依存のランダムウォークに対して、トータル・バウンドネスと有限次元収束をどのように確立できるか。

主な発見

• スケーリング過程 (Xₙ(t)) は n → ∞ のとき、ℝ上での非対称ブラウン運動 (B^α(t)) に弱収束する。これにより、非一様なランダムウォークに対する関数中心極限定理が確立される。
• 非対称性パラメータ α は α = [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}]] / [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}] + c′₁𝔼[h′(−η₁)𝟏_{η₁<0}]] で与えられ、h と h′ は降下および上昇再生関数である。
• 定数 c₁ と c′₁ はそれぞれ ℙ(S(k) ≥ 0) および ℙ(S′(k) ≤ 0) の無限積を用いて表現され、ランダムウォークの挙動の非対称性を反映している。
• 増分の非周期性および有限の2階モーメント、ゼロにおけるジャンプ分布の可積分性という条件下で収束が成立する。
• 証明により、対称ベルヌーイステップに制限されていた先行結果を、有限の2階モーメントを持つ一般の独立同分布増分へ拡張した。
• トータル・バウンドネスは、部分和の上界とゼロにおけるジャンプの大きさを用いた連続性のモジュラスのバウンドにより確立され、分布収束が保証される。