[論文レビュー] Limit Theorems for Some Critical Superprocesses

Yan-Xia Ren, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は一般の条件下で臨界超過程の極限定理を確立し、非消滅確率が $1/t$ の割合で減少することを証明している。非消滅の条件下では、スケーリングされた全質量が指数分布に収束し、双対固有関数の直交補空間に属する関数と同時にスケーリングすると、正規分布を含む連合極限が得られる。これらの結果は、古典的な分岐過程の極限定理を測度値をとる超過程へと拡張し、中心極限定理的挙動を示すものである。

ABSTRACT

In this paper we establish some conditional limit theorems for some critical superprocesses $X=\{X_t, t\ge 0\}$. First we identify the rate of non-extinction. Then we show that, for a large class of functions $f$, conditioned on non-extinction at time $t$, the limit, as $t o\infty$, of $t^{-1}\langle f, X_t angle$ exists in distribution and we identify this limit. Finally, we also establish, under some conditions, a central limit theorem for $\langle f, X_t angle$ conditioned on non-extinction at time $t$.

研究の動機と目的

• 離散的および連続的時間の分岐過程から測度値をとる臨界超過程へと古典的な極限定理を拡張すること。
• 臨界超過程の非消滅確率の正確な減少率を確立し、$\lim_{t\to\infty} t \mathbb{P}_\mu(\|X_t\| \neq 0) = \nu^{-1} \langle \phi_0, \mu \rangle$ を示すこと。
• 非消滅の条件下での $t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ の条件付き極限分布を導出し、$\langle f, \psi_0 \rangle_m W$ に収束することを示し、$W$ はレート1の指数分布に従うものとする。
• $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0 $ の場合に、連合中心極限定理を証明し、$(W, G(f)\sqrt{W})$ に収束することを示し、$G(f) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_f^2)$ は $W$ と独立であることを示すこと。

提案手法

• 無限小生成作用素 $L$ の固有関数 $\phi_0$ 及びその双対固有関数 $\psi_0$ を用いて、超過程の長期的挙動を特徴付ける。
• フェインマン＝カックの公式とラプラス変換を用いて、$\|X_t\| \neq 0$ を条件とする確率測度 $\mathbb{P}_{t,\mu}$ におけるモーメント母関数を分析する。
• マルコフ性と双対超過程を用いて、$X_t$ の時間発展を分解し、スケーリングされた加法的汎関数の特性関数を分析する。
• 分散 $V_s(x) = \mathrm{Var}_{\delta_x}\langle f, X_s \rangle$ を用いて、特性関数 $\kappa_1(\theta_1, \theta_2, s, t)$ の積分を支配的項と余分項に分割し、漸近的展開を導出する。
• 優越収縮定理と一様可積分性の推定を用いて、$t \to \infty$ の極限に移行し、特性関数が目的の極限に収束することを示す。
• $t^{-1}\langle \widetilde{V}_s, X_t \rangle$ 及び $t^{-1}\langle h(\cdot,s,t), X_t \rangle$ が 0 に収束することを用いて、展開式における低次の項を無視する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限測度 $\mu$ から出発する臨界超過程の非消滅確率の正確な減少率は何か？
• RQ2 $t \to \infty$ のとき、非消滅の条件下でスケーリングされた全質量 $t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0 $ のとき、$t^{-1}\langle \phi_0, X_t \rangle$ と $t^{-1/2}\langle f, X_t \rangle$ の連合極限分布は何か？
• RQ4 非消滅条件付きの下で、臨界超過程の加法的汎関数に対して中心極限定理を確立できるか？
• RQ5 これらの結果は、空間的設定における分岐過程から超過程への古典的極限定理の一般化をどのように果たすか？

主な発見

• 非消滅確率は $\lim_{t\to\infty} t \mathbb{P}_\mu(\|X_t\| \neq 0) = \nu^{-1} \langle \phi_0, \mu \rangle$ と減少する。ここで $\nu$ は正の定数であり、$\phi_0$ は生成作用素 $L$ の第一固有関数である。
• 非消滅の条件下では、$t^{-1}\langle f, X_t \rangle$ は分布収束して $\langle f, \psi_0 \rangle_m W$ に収束する。ここで $W$ はレート1の指数分布に従う確率変数である。
• $\langle f, \psi_0 \rangle_m = 0 $ のとき、連合ベクトル $\left(t^{-1}\langle \phi_0, X_t \rangle, t^{-1/2}\langle f, X_t \rangle\right)$ は分布収束して $\left(W, G(f)\sqrt{W}\right)$ に収束する。ここで $G(f) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_f^2)$ は $W$ と独立である。
• スケーリングされた加法的汎関数の特性関数の収束は、漸近的展開と優越収縮定理を用いて確立され、誤差項は $t \to \infty$ のとき消える。
• 証明は分散過程 $V_s(x)$ の分解と双対固有関数 $\psi_0$ の使用に依拠しており、条件付きでの極限挙動を制御する。
• これらの結果は、空間的運動および分岐機構に関する一般的で検証可能な条件下で成り立ち、分岐過程からの古典的結果を超過程へと拡張するものである。