[論文レビュー] Limit theorems for the sample autocovariance of a continuous-time moving average process with long memory

Felix Spangenberg|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、長記憶を有する連続時間移動平均過程における標本自己共分散の漸近的分布を確立し、Lévyノイズの尾部挙動と記憶パラメータ $ d \in (0, \frac{1}{2}) $ に応じて、ローゼンブラット分布または安定分布に収束することを示している。結果は、HorváthとKokoszkaによる離散時間の結果を連続時間設定へと拡張し、重い尾部または有限分散を有するノイズ下で、長距離依存性が標本自己共分散における非ガウス型極限を引き起こすことを確認している。

ABSTRACT

We examine the asymptotic behaviour of the sample autocovariance in a continuous-time moving average model with long-range dependence. We show that it is either asymptotically Rosenblatt distributed or stable distributed. This shows that results by Horváth and Kokoszka for discrete-time moving average processes with long memory also hold for continuous-time moving average processes.

研究の動機と目的

• 離散時間から連続時間の長記憶移動平均過程への標本自己共分散の漸近的理論を拡張すること。
• 記憶パラメータ $ d \in (0, \frac{1}{2}) $ の下で、標本自己共分散の極限分布を特定すること。
• 四次モーメントが有限である場合にローゼンブラット分布が得られる条件を確立すること。
• 分数LévyノイズやFICARMA過程への結果の適用可能性を検証すること。

提案手法

• 連続時間移動平均過程を $ X_t = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-s) \, dL_s $ としてモデル化し、$ L $ をゼロ平均のLévy過程とし、$ f \in L^2(\mathbb{R}) $ かつ $ f(t) \sim C_d t^{d-1} $ と仮定する。
• 伊藤等式を用いて自己共分散関数を $ \gamma(h) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} f(s)f(s+h) \, ds $ と表現する。
• 複数のウィener積分とU統計量の極限定理を用いて、標本自己共分散 $ \hat{\gamma}_N(h) = \frac{1}{N} \int_0^N X_t X_{t+h} \, dt $ を分析する。
• デルタ法を適用して、標本自己相関および記憶パラメータ $ d $ の推定値の漸近的分布を導出する。
• 記憶パラメータ $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ かつ $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ の下で、ローゼンブラット過程 $ U_d(1) $ が極限分布として果たす役割を確立する。
• 正規化されたLévyノイズが指数 $ \alpha \in (2,4) $ の正規化された分布を示す場合、$ d < \frac{1}{\alpha} $ ならば極限分布は安定分布となり、$ d > \frac{1}{\alpha} $ ならばローゼンブラット分布となることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間長記憶移動平均過程における標本自己共分散の漸近的分布は何か？
• RQ2 極限分布はLévyノイズの尾部挙動（有限 vs. 正規化された四次モーメント）にどのように依存するか？
• RQ3 長距離依存性を持つ離散時間モデルと同様に、連続時間モデルでもローゼンブラット分布が出現するか？
• RQ4 結果はFICARMA過程や分数Lévyノイズへと拡張可能か？
• RQ5 長距離依存性下での標本自己相関および $ d $-推定値の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 記憶パラメータ $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ かつ $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ の下で、標本自己共分散 $ \hat{\gamma}_N(h) $ は、定数 $ C_d^2 \sigma^2 $ をスケーリング係数とするローゼンブラット確率変数 $ U_d(1) $ の倍数に分布収束する。
• Lévyノイズが指数 $ \alpha \in (2,4) $ の正規化された分布を示す場合、$ d < \frac{1}{\alpha} $ ならば $ \hat{\gamma}_N(h) $ の極限分布は安定分布となり、$ d > \frac{1}{\alpha} $ ならばローゼンブラット分布となる。
• 標本自己相関 $ \hat{\rho}_N(h) $ は、$ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ かつ四次モーメントが有限の下で、$ C_d^2 \sigma^2 U_d(1) \frac{1 - \rho(h)}{\gamma(0)} $ に漸近的に分布する。
• 記憶パラメータ $ d $ の推定値 $ \hat{d} = \frac{1}{2} \frac{\log(\hat{\rho}_N(1) + 1)}{\log 2} $ は、$ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ かつ $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ の下で漸近的にローゼンブラット分布に従う。これは、従来の正規性の結果を拡張するものである。
• FICARMA過程は、$ f(t) \sim C_d t^{d-1} $ として $ t \to \infty $ の下で核条件を満たすため、本研究の結果はこの連続時間長記憶過程クラスに適用可能である。
• 結果は、HorváthとKokoszkaが離散時間長記憶移動平均過程で観察した非ガウス型極限挙動が、連続時間設定でも成立することを確認している。