[論文レビュー] Limiting distribution and error terms for the number of visits to balls in non-uniformly hyperbolic dynamical systems

Nicolai Haydn, K Wasilewska|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多項式的相関減少を示す非一様的混合的力学系（例えば、ヤングタワー構成を備えるもの）において、小さな測度球への訪問回数が、球半径を小さくする極限においてポアソン分布に収束することを確立している。収束速度は |log ρ| の負のべき乗で抑えられ、誤差項は |log ρ|^{-κ′} の測度を有する小さな例外集合を除いて一様に制御される。

ABSTRACT

We show that for systems that allow a Young tower construction with polynomially decaying correlations the return times to metric balls are in the limit Poisson distributed. We also provide error terms which are powers of logarithm of the radius. In order to get those uniform rates of convergence the balls centres have to avoid a set whose size is estimated to be of similar order. This result can be applied to non-uniformly hyperbolic maps and to any invariant measure that satisfies a weak regularity condition. In particular it shows that the return times to balls is Poissonian for SRB measures on attractors.

研究の動機と目的

• 非一様的混合的力学系における小さな測度球への訪問回数の極限定理としてのポアソン分布の確立。
• ポアソン分布への収束速度の定量的評価を行い、球半径の対数を用いた明示的な誤差境界の提示。
• 非常に短い帰還時間または幾何的不規則性を示す中心を含む例外集合の特定とその測度の定量的制御。
• 一様的混合的または指数的混合的系に限らない、多項式的相関減少を示す系へのポアソン近似結果の拡張。
• ヤングタワー構成を用いて構築された吸引子上のSRB測度およびその他の不変測度への応用。

提案手法

• ヤングタワー構成を用いて、多項式的相関減少を示す非一様的混合的力学系をモデル化する。
• 訪問回数を数えるための従属ベルヌーイ過程のポアソン近似に、チェン＝スタイン法を適用する。
• 非常に短い帰還時間または幾何的不規則性を示す点を除外するための禁止集合（Xρ, Vρ, および Erho）を導入する。
• モーメントの上限と混合推定を用いて、訪問回数プロセス内の依存構造を制御する。
• 誤差境界をポアソン近似定理（定理7.1）を用いて導出し、訪問回数とポアソン分布との全変動距離が相関減少と依存パラメータにどのように関係するかを示す。
• 幾何的および確率的議論を用いて例外集合の測度を推定し、それが |log ρ| のべき乗として減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的混合的力学系における収縮する測度球への訪問回数は、半径が0に近づくにつれてポアソン分布に収束するか？
• RQ2 ポアソン極限への収束速度は何か？ また、すべての球中心に対して一様に抑えられるか？
• RQ3 ポアソン近似が失敗する中心の集合はどれくらい大きく、その測度は定量的に制御可能か？
• RQ4 SRB測度以外の不変測度に対しても、正則性条件を満たせば結果を拡張可能か？
• RQ5 非常に短い帰還時間はポアソン極限の破壊にどのように寄与するか？ そして、分析から除外するにはどうすればよいか？

主な発見

• 球半径 ρ に対して、測度球への訪問回数は、小さな例外集合を除いて、ρ → 0 の極限でポアソン( t )分布に分布収束する。
• ポアソン近似の誤差は、ある κ > 0 に対して C |log ρ|^{-κ} で抑えられ、λ > 9 のとき κ < (λ - 7)/4 である。
• 非常に短い帰還時間を持つ中心の集合 Vρ の測度は、κ′ < (λ - 4)/2 のもとで O(|log ρ|^{-κ′}) で抑えられる。
• 仮定 λ > 9 のもとで、例外集合 Xρ ∪ Vρ ∪ Erho の測度は O(|log ρ|^{-(λ-9)/4}) である。
• 結果は、吸引子上のSRB測度および多項式的減少を示すヤングタワー構成を備えた任意の不変測度に適用可能である。
• 収束速度は指数的混合系の場合より遅く、系内の相関減少の遅さが反映されている。