[論文レビュー] Limiting laws associated with Brownian motion perturbed by its maximum, minmum and local time II

Bernard Roynette, Pierre Vallois+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最大値、最小値、局所時間、または下側クロスオーバー回数で摂動された Browmian 動径に対して、罰則原理を確立し、時間変換された測度の弱収束を、極限分布へと証明する。正のボレル関数 $ f $ に対して適切な条件下で、$ f(X_t, A_t) $ の正規化された期待値は、martingale を用いた測度 $ Q_0^f $ に収束する。この測度の法則は、$ g $ が $ A_t $ がその上限に達する最後の時刻であるとき、Browmian 動径の経路を $ g $ 以前と以降の成分に分解するものである。

ABSTRACT

We obtain probability measures on the canonical space penalizing the Wiener measure by a function of its maximum (resp. minimum, local time). We study the law of the canonical process under these new probability measures.

研究の動機と目的

• Browmian 動径がその最大値、最小値、局所時間、または下側クロスオーバー回数で摂動される場合の、罰則理論の拡張。
• 時間変換された確率測度 $ Q_{0,t}^F $ が $ t \to \infty $ のとき極限測度 $ Q_0^f $ に弱収束することの確立。
• 特に、$ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $ における経路分解を通じて、$ Q_0^f $ の下での Browmian 動径の法則の特定。
• 特にゼロにおける局所時間に関連する状況において、極限拡散の不変密度の明示的表現の導出。

提案手法

• 半群 $ \Lambda_t $ と $ C(s,y) $ の可積分性に関する条件を満たす場合に、$ Q_{x_0,t}^F $ が $ Q_{x_0}^M $ に収束することを保証するメタ定理（定理 1.1）の使用。
• $ \lim_{t\to\infty} \Lambda_{t-s}(f)(y)/\Lambda_t(f)(y_0) $ の極限による $ P_0 $-martingale $ M_s^f $ の構成；これにより $ M_0^f = 1 $ a.s. が保証される。
• $ A_\infty $ を条件とする下で、$ Q_0^f $ の下で、経路を $ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ と $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $ に二分する分解。
• 生成作用素から導かれる境界条件を用いて、2階常微分方程式を解くことにより、極限拡散の不変密度 $ g(x) $ の導出。
• Feynman-Kac 公式と指数的傾きの応用により、$ e^{cL_t^0} $ を含む期待値の計算を行い、$ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ の正確な漸近的挙動の導出。
• $ n $ 本のレーンを持つウォルシュの Browmian 動径への一般化；局所時間に関連するモーメントの収束のための臨界閾値 $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $ の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された $ f(X_t, A_t) $ で定義される測度 $ Q_{0,t}^F $ が $ t \to \infty $ のとき弱収束するための条件は何か？
• RQ2 極限測度 $ Q_0^f $ の下での Browmian 動径の法則は、特に $ g $ における経路分解を通じてどのように記述できるか？
• RQ3 極限拡散の不変密度は、関数 $ f $ と過程 $ A_t $ にどのように依存するか？
• RQ4 $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 罰則フレームワークはウォルシュの Browmian 動径へと拡張可能か？また、収束のための指数パラメータの臨界値は何か？

主な発見

• 集合 $ \{(S_t), (S_t,t), (L_t^0), (S_t,I_t,L_t^0), (D_t)\} $ の最初の、3番目、および5番目の要素に対して、$ Q_0^f(A_\infty < \infty) = 1 $ であり、$ Q_0^f(0 < g < \infty) = 1 $ である。ここで $ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $ である。
• $ A_\infty $ を条件とする下で、$ Q_0^f $ の下での $ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ の法則は、特定の生成作用素を持つ時間変換拡散である。
• $ A_\infty $ を条件とする下で、$ Q_0^f $ の下での $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $ の法則は、不変密度 $ g(x) = \frac{3}{(a+b)a^2b^2} \left[ b^2(a-x)^2 \mathbf{1}_{\{0<x<a\}} + a^2(b+x)^2 \mathbf{1}_{\{-b<x<0\}} \right] $ を持つ拡散である。
• $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] = \frac{3}{2} $ であり、$ c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ のときであり、この値は臨界点でのみ有限である。
• $ \alpha > c $ のとき、極限は $ \infty $ である。$ \alpha < c $ のとき、極限は $ 0 $ である。これは $ \alpha = c $ で鋭い相転移を示している。
• $ n $ 本のレーンとパラメータ $ (p_i) $ を持つウォルシュの Browmian 動径に対して、$ E[e^{\alpha L_t^0} \prod_{i=1}^n 1_{\{S_t^i \leq a_i\}}] $ の極限は、$ \alpha < c $ のとき $ 0 $、$ \alpha = c $ のとき $ \frac{3}{2} $、$ \alpha > c $ のとき $ \infty $ である。ここで $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $ である。