[論文レビュー] Limits of Moishezon Manifolds under Holomorphic Deformations

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての他のファイバーがMoishezonであるならば、正則ファミリーの中心ファイバーがMoishezonであることを証明する。中心ファイバーに強いGauduchon計量を導入し（一般ファイバーにおける$\partial\bar{\partial}$-lemmaによって保証される）、相対Barlet空間の除数の既約成分が底空間に関して固有であることを示す。これにより、中心ファイバーが最大代数次元を持ち、したがってMoishezonであることが保証される。

ABSTRACT

Given a (smooth) complex analytic family of compact complex manifolds, we prove that the central fibre must be Moishezon if the other fibres are Moishezon. Using a "strongly Gauduchon metric" on the central fibre whose existence was proved in our previous work on limits of projective manifolds, we show that the irreducible components of the relative Barlet space of divisors contained in the fibres are proper over the base even under the weaker assumption that the $\partial\bar\partial$-lemma hold on all the fibres except, possibly, the central one. This implies that the algebraic dimension of the central fibre cannot be lower than that of the generic fibre. Since the latter is already maximal thanks to the Moishezon assumption, the central fibre must be of maximal algebraic dimension, hence Moishezon.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体の正則変形におけるMoishezon性の不変性を確立すること。
• 以前の結果（射影的ファイバーを必要としていた）を、Moishezonファイバーのより広いクラスへ一般化すること。
• このような変形において、中心ファイバーの代数次元が一般ファイバーのそれ以下に低下しないことを示すこと。
• 非中心ファイバーにおける$\partial\bar{\partial}$-lemmaの仮定の下で、相対Barlet空間の除数の既約成分の固有性を証明すること。
• 中心ファイバーに強いGauduchon計量が存在する場合、それが小さな変形のもとで保存されることを示し、除数上の一様な体積評価を可能にすること。

提案手法

• 中心ファイバー$X_0$に強いGauduchon計量が存在することと、$t \neq 0$の一般ファイバー$X_t$における$\partial\bar{\partial}$-lemmaを用いて、$C^{\infty}$-ファミリー$(\gamma_t)_{t \in \Delta}$の強いつよがし計量を$X_t$に構成する。
• $t \neq 0$の一般ファイバーにおける$\partial\bar{\partial}$-lemmaを用いて、$\bar{\partial}_t$-ポテンシャル$\zeta_t^{n,n-2}$が存在し、$\partial_t \gamma_t^{n-1} = \bar{\partial}_t \zeta_t^{n,n-2}$を満たすことを保証し、$t$にわたる滑らかさを確保する。
• ストークスの定理を適用して、$\int_X \beta_t^{0,1} \wedge \partial_t \gamma_t^{n-1}$と$\int_X \alpha_t^{0,2} \wedge \zeta_t^{n,n-2}$の積分を関係づけ、除数体積の一様有界性を示す。
• Remmertの固有写像定理を用いて、相対Barlet空間$\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$の既約成分が射影$\mu_{n-1}$による像が$\Delta$の解析的部分集合であることを導く。
• 中心ファイバーに近づく水平ファミリー内の除数の体積の一様有界性を示すことにより、相対Barlet空間の既約成分が$\Delta$に関して固有であることを証明する。
• 中心ファイバー$X_0$が十分に多くの除数を一般ファイバーから引き継いでいることから、最大代数次元を持つことが結論づけられ、したがってMoishezonである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体の正則変形において、Moishezon性は保存されるか？
• RQ2 中心ファイバーにおける$\partial\bar{\partial}$-lemmaの仮定よりも弱い仮定のもとで、相対Barlet空間の除数の既約成分の固有性を確立できるか？
• RQ3 中心ファイバーに強いGauduchon計量が存在する場合、それが小さな正則変形のもとで安定するか？
• RQ4 すべてのファイバー（中心を除く）で$\partial\bar{\partial}$-lemmaが成り立つ場合に、中心ファイバーの代数次元が一般ファイバーのそれ以上であることを示せるか？
• RQ5 $\partial\bar{\partial}$-lemmaは、正則ファミリーにおける複素多様体の除数族の幾何を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 正則ファミリー$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$の中心ファイバー$X_0$は、すべての他のファイバー$X_t$（$t \in \Delta^\star$）がMoishezonであるならばMoishezonである。
• $t \neq 0$のすべてのファイバー$X_t$で$\partial\bar{\partial}$-lemmaが成り立つという仮定の下で、相対Barlet空間$\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$の既約成分は底空間$\Delta$に関して固有である。
• $X_0$の代数次元は、一般ファイバーのそれ以上であり、一般ファイバーがMoishezon（したがって最大代数次元）であるため、$X_0$も最大代数次元を持つ。
• $t \in \Delta^\star$のすべての$X_t$で$\partial\bar{\partial}$-lemmaが成り立つならば、$X_0$に強いGauduchon計量が存在する。このような計量は、$\Delta$を小さくすることで、すべてのファイバーに$C^\infty$-ファミリーの強いGauduchon計量へ拡張できる。
• $t \to 0$のとき、任意の有効除数$Z_t \subset X_t$の体積は、$t$にわたる計量およびポテンシャル形式の滑らかな依存性により一様に有界である。
• 射影$\mu_{n-1}: \mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta) \to \Delta$の既約成分における固有性により、中心ファイバーは最大代数次元に達する十分な数の除数を引き継ぐ。