[論文レビュー] Lindelof spaces which are indestructible, productive, or D

Franklin D. Tall, Leandro F. Aurichi|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、可算閉じたフォーシングの下で、Lindelöf空間における破壊不能性、生産性、およびD性質の相関関係を調査する。Alster空間はMengerであり、したがってDであることが示され、メトリック空間が破壊不能に生産的にLindelöfであることとσ-コンパクトであることの必要十分条件であることが証明され、フォーシング拡張における生産的Lindelöf問題の重要なケースが解決される。

ABSTRACT

We discuss relationships in Lindelof spaces among the properties "indestructible", "productive", "D", and related properties.

研究の動機と目的

• 破壊不能性、生産性、D性質のLindelöf空間における関係を理解すること。
• フォーシング拡張の下で、破壊不能に生産的にLindelöfな空間がAlsterまたはDであるかどうかを調査すること。
• 破壊不能に生産的にLindelöfなメトリック空間の正確な特徴づけを特定すること。
• フォーシングがMenger、Hurewicz、Dなどの位相的性質を保存する役割を明確にすること。
• ZFCおよびCHに基づく例を提示し、これらの性質の違いとMichaelの問題への影響を区別すること。

提案手法

• 可算閉じたフォーシング拡張を用いて、Lindelöf性、生産性、D性質の破壊不能性を定義し分析する。
• 選択原理（Menger、Rothberger、Hurewicz）を、開被覆の列を用いた同値定義を用いて適用する。
• コンパクト集合のGδ被覆の有限な細分というAlster性を用いて、Alster空間におけるMenger性およびD性質を証明する。
• 完全写像とフォーシングにおける保存性を用いて、メトリック空間のケースを0次元空間に還元する。
• 既知の例（例：MooreのL空間、Michaelの空間、Sorgenfrey直線）を用いて、性質の含意関係や逆が成り立たないことをテストする。
• CHおよび基数不変量（例：𝔪 < 𝔤）を用いて、Rothberger ⇒ Hurewiczや、生産的Lindelöf ⇒ Mengerなどの含意を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての破壊不能に生産的にLindelöfなT3空間はAlsterまたはDであるか？
• RQ2 CHの下で、重み≤ ℵ1 であるすべての生産的にLindelöfなT3空間はAlsterであるか？
• RQ3 一般に、破壊不能に生産的にLindelöフはHurewiczまたはMengerを含意するか？
• RQ4 Lindelöf空間が無理数空間との積がLindelöfでない例をZFCで構成できるか？
• RQ5 生産的にLindelöfだが、パワー的にLindelöfでない空間は存在するか？

主な発見

• すべてのAlster空間はMengerであり、したがってすべてのAlster空間はDである。
• CHの下では、第一可算または可分なすべての生産的にLindelöfなT3空間はDである。
• メトリック空間が破壊不能に生産的にLindelöfであることとσ-コンパクトであることの必要十分条件である。
• 破壊不能に生産的にLindelöfな空間はHurewiczかつパワー的にLindelöfである。
• Sorgenfrey直線はLindelöfであるが、生産的にLindelöfではない。なぜならその平方はLindelöfでないからである。
• MengerであるがHurewiczでない空間が存在し、Hurewiczであるがσ-コンパクトでない空間も存在する。これにより、厳密な階層が示される。