[論文レビュー] Linear Algebra for Mueller Calculus

Andrea Aiello, J. P. Woerdman|ArXiv.org|Dec 17, 2004

Optical Polarization and EllipsometryEngineering参考文献 7被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、スティーブンスパラメータとパウリ行列のための一貫性のある量子に由来する表記法を用いて、ムーアー＝スティーブンス形式の統一的かつ数学的に厳密な取り扱いを提示する。ムーアー行列とジョーンズ行列の間の主要な関係を導出し、分解定理を確立するとともに、場依存の16×16ムーアー行列を用いた二光子量子アナログを定式化し、量子光学における偏光解析のための一貫性のある枠組みを可能にする。

ABSTRACT

We give a self-contained exposition of some mathematical aspects of the Mueller-Stokes formalism. In the first part we review some basic notions of linear algebra and establish a proper notation. In the second part we introduce the Mueller-Stokes formalism and derive some useful mathematical relation between physical quantities. Finally a useful decomposition theorem is reviewed.

研究の動機と目的

• 文献間の表記の不一致を解消するため、スティーブンスパラメータおよびパウリ行列に一貫性のある量子に由来する形式を採用すること。
• 決定論的および非決定論的系に対して、ムーアー行列とジョーンズ行列の明示的な数学的関係を導出すること。
• ムーアー行列の分解定理を確立し、物理的実現可能性の条件を明確にすること。
• 場依存の16×16ムーアー行列形式を用いて、エンタングルドまたは相関した光場のための二光子16×16ムーアー行列形式を定式化することで、古典的ムーアー計算を量子領域に拡張すること。
• ムーアー＝スティーブンス形式の自己完結的かつ数学的に一貫性のある基礎を提供し、量子光学および偏光計測への応用を容易にすること。

提案手法

• パウリ行列およびスティーブンスパラメータに量子に由来する表記法を採用し、$ S_0, S_1, S_2, S_3 $ を光学的慣習ではなく、標準的な量子力学的慣習に合わせて再定義する。
• ユニタリ行列 $ Q $ を用いて、著者らのスティーブンスベクトル $ \vec{S} $ とヴァン・デ・フールスト表記 $ \vec{S}^\mathrm{H} $ の間の変換を導出し、一貫性のある行列関係を可能にする。
• 著者らのムーアー行列 $ M $ と標準的な光学的ムーアー行列 $ M^\mathrm{H} $ の間の関係 $ M = Q M^\mathrm{H} Q^{-1} $ を確立し、表記法の整合性を保証する。
• 出力二光子スティーブンスパラメータを $ \langle \hat{S}_{(\mathcal{A})} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B})} \rangle^{\mathrm{out}} = \sum_{\mathcal{A}', \mathcal{B}'} \mathbf{M}_{\mathcal{A}\mathcal{B}, \mathcal{A}'\mathcal{B}'} \langle \hat{S}_{(\mathcal{A}')} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B}')} \rangle^{\mathrm{in}} $ として表現することにより、ムーアー＝スティーブンス形式の二光子量子アナログを導出する。ここで $ \mathbf{M} $ は場依存の16×16行列である。
• 場依存の16×16ムーアー行列 $ \mathbf{M}_{\mathcal{A}\mathcal{B}, \mathcal{A}'\mathcal{B}'} $ をモードインデックスの和として定義し、入射状態の相関を $ R_{a'b',a''b''}^{\mathrm{in}} $ を用いて組み込む。
• 傍軸近似を用いて、密度行列とスティーブンスパラメータの関係を簡略化し、$ \langle \hat{S}_{(\mathcal{A})} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B})} \rangle^{\mathrm{in}} = S_{\mathcal{A}\mathcal{B}}^{\mathrm{in}} $ が成り立つことを導出し、最終的な量子力学的ムーアー方程式の形を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献間の不整合を解消するため、ムーアー＝スティーブンス形式に一貫性があり統一された表記法を確立するにはどうすればよいか？
• RQ2 異なるスティーブンスパラメータ表記法における、著者らのムーアー行列と標準的な光学的ムーアー行列との間の明確な数学的関係は何か？
• RQ3 ムーァー行列がジョーンズ行列から導出可能となる条件は何か。これらは代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 エンタングルドまたは相関した状態のための二光子状態に、古典的ムーアー＝スティーブンス形式をどのように一般化できるか？
• RQ5 二光子ムーアー行列の構造は何か。また、これと入射状態の相関性の性質とはどのように関係するか？

主な発見

• 著者らは、パウリ行列およびスティーブンスパラメータに量子に由来する表記法を採用し、$ S_1 = U $、$ S_2 = -V $、$ S_3 = Q $ として再定義することで、標準的な量子力学的慣習と整合させ、代数的計算を簡素化する。
• 著者らのスティーブンスベクトル $ \vec{S} $ とヴァン・デ・フールスト表記 $ \vec{S}^\mathrm{H} $ を結ぶユニタリ変換 $ Q $ が導出され、$ \vec{S} = Q \vec{S}^\mathrm{H} $ が成り立つ。これにより、一貫性のある行列変換が可能になる。
• 著者らのムーアー行列と標準的な光学的ムーアー行列の間の関係 $ M = Q M^\mathrm{H} Q^{-1} $ が確立され、表記法の整合性が保証される。
• 二光子量子アナログのムーアー＝スティーブンス形式は、$ \langle \hat{S}_{(\mathcal{A})} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B})} \rangle^{\mathrm{out}} = \sum_{\mathcal{A}', \mathcal{B}'} \mathbf{M}_{\mathcal{A}\mathcal{B}, \mathcal{A}'\mathcal{B}'} \langle \hat{S}_{(\mathcal{A}')} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B}')} \rangle^{\mathrm{in}} $ として導出され、ここで $ \mathbf{M} $ は場依存の16×16行列である。
• 傍軸近似の下で、入射二光子スティーブンスパラメータは $ \langle \hat{S}_{(\mathcal{A})} \otimes \hat{S}_{(\mathcal{B})} \rangle^{\mathrm{in}} = S_{\mathcal{A}\mathcal{B}}^{\mathrm{in}} $ を満たす。これは、量子形式において古典的スティーブンスパラメータをそのまま用いることの妥当性を裏付ける。
• 最終的な量子ムーアー方程式の形は $ S_{\Phi}^{\mathrm{out}} = \sum_{\Phi'=0}^{15} \mathbf{M}_{\Phi\Phi'} S_{\Phi'}^{\mathrm{in}} $ であり、これは古典的ムーアー＝スティーブンス方程式と形式的に同一である。これにより、深い構造的対応が示された。