[論文レビュー] Linear continuous functionals on FN-type spaces

Sorin G. Gal|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、FN型空間—完備な距離空間であるファジィ数値関数の空間—における線形連続汎関数の構造を、ファジィ数のレベルワイズ表現を用いて、関連する区間値関数空間上の線形汎関数に起因することを示すことによって特徴づけている。主な結果は、$ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ および $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上のこのような汎関数が、それぞれ $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ および $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上の汎関数に対応することを示しており、すべてのこのような汎関数の完全な特徴づけについては未解決の問題が残っている。

ABSTRACT

By using the space of fuzzy numbers, in e.g. [5] have been considered several complete metric spaces (called here {\bf FN}-type spaces) endowed with addition and scalar multiplication, such that the metrics have nice properties but the spaces are not linear, i.e. are not groups with respect to addition and the scalar multiplication is not, in general, distributive with respect to usual scalar addition. This paper deals with the form of linear continuous functionals defined on these spaces.

研究の動機と目的

• FN型空間、すなわち古典的意味での線形ではないが完備な距離空間であるファジィ数値関数の空間における線形連続汎関数の構造を特徴づけること。
• ファジィ数値関数空間とその関連する区間値関数空間との間のギャップを、ファジィ数のレベルワイズ表現によって埋めること。
• ファジィ関数空間上の線形連続汎関数と、それらの背後にある連続的または可積分な区間値関数空間上の汎関数との間の対応関係を確立すること。
• 特に $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ および $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ において、このような汎関数が積分表現をもつための十分条件を提供すること。

提案手法

• 各ファジィ数 $ u \in \mathbf{R}_{\mathcal{F}} $ をそのレベル集合 $ [u]^{r} = [u_{-}(r), u_{+}(r)] $ で表し、写像 $ u \mapsto (u_{-}, u_{+}) \in \overline{C}[0,1] \times \overline{C}[0,1] $ を定義する。ここで $ \overline{C}[0,1] $ は、一様ノルムを備えた有界で、(0,1]で右連続かつ0で左連続な関数の空間である。
• FN型空間を $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、$ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、および $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $ と定義し、$ \overline{C}[0,1] $ 上の一様ノルムから導かれる距離を備える。
• 与えられたファジィ関数空間上の汎関数 $ x^* $ を用いて、区間値関数空間の稠密部分空間 $ A $（または $ FA $）上で線形汎関数 $ L_0 $ を構成する。
• 目標空間の完備性を活用して、$ L_0 $ を $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ または $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 全体上で連続線形汎関数 $ L $ に拡張する。
• ファジィ空間上の任意の線形連続汎関数 $ x^* $ が、$ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ の形に表され、ここで $ L $ は一様または $ L^p $-型距離に関して区間値空間上で連続であることを証明する。
• このような汎関数に対する十分な積分表現を提示し、それぞれ $ h_1 $ が [0,1] 上連続で有界 Variation を持ち、$ h_2 $ が $ L^q $ に属する場合を想定する。すべての汎関数がこの形であるかどうかは未解決の問題である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FN型空間、例えば $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ や $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上の線形連続汎関数の一般形は何か？
• RQ2 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上のすべての線形連続汎関数が、連続汎関数 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ とレベルワイズ写像 $ x \mapsto (x_{-}, x_{+}) $ の合成として表されるか？
• RQ3 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上のすべての線形連続汎関数が、[0,1] 上の連続関数および [a,b] 上の $ L^q $-関数を用いた積分によって表現可能か？
• RQ4 ファジィ空間上の汎関数と区間値関数空間上の汎関数との間の対応関係は完全か、それ以外のクラスに属する汎関数が存在するか？
• RQ5 稠密部分空間上に定義された $ L_0 $ の構成を、これらの FN 型空間上のすべての連続線形汎関数の完全な特徴づけに拡張できるか？

主な発見

• 任意の線形連続汎関数 $ x^* $ は、$ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上で $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ の形に表され、ここで $ L $ は一様距離 $ \Delta(F,G) = \sup_{t \in [a,b]} ||F(t) - G(t)|| $ に関して $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上で連続な線形汎関数である。
• あるクラスの汎関数は積分表現をもつ：$ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} d[h_2(t)] $、ここで $ h_1 $ は [0,1] 上連続で、$ h_2 $ は [a,b] 上有界変動である。
• $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ に対して、任意の線形連続汎関数 $ x^* $ は $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $ の形に表され、ここで $ L $ は $ L^p $-型距離 $ \Delta_p(F,G) = \left( \int_a^b ||F(t) - G(t)||^p dt \right)^{1/p} $ に関して $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上で連続である。
• $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上の汎関数の十分なクラスは、$ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} h_2(t) \, dt $ で与えられ、ここで $ h_1 \in C[0,1] $、$ h_2 \in L^q([a,b]) $、$ 1/p + 1/q = 1 $ である。
• ファジィ関数空間 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ の稠密部分空間 $ FA $ 上に定義された汎関数 $ L_0 $ の構成（$ L_0(U) = x^*(V) $、ここで $ V $ は $ F, G \in CIC[0,1] $ から再構成される）は、拡張の議論において中心的役割を果たす。
• 本稿は、$ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、$ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、および $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $ 上のすべての線形連続汎関数が、提案された積分形または関数的対応によってカバーされているかどうかは未解決のまま残っている。