[論文レビュー] Linear equations of motion for massless particles of any spin in any even dimensional spaces

Bojan Gornik, Norma Mankoč Borštnik|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2001

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ひとこと要約

この論文は、偶数次元時空において、任意のスピンをもつ自由な質量ゼロの粒子が、運動量に関して線形な運動方程式に従わなければならないことを証明している。具体的には $ (W^a = \alpha p^a)\langle\Phi| $ であり、ここで $ W^a $ は一般化されたパウリ＝ルバンスキー・ベクトルである。この結果は、ポincare対称性と非可約性を要求することから導かれる。これは4次元における質量ゼロ場の標準的線形力学を、任意の偶数次元 $ d = 2n $ に拡張したものであり、スピン系および高ランクテンソルの明示的構成が与えられている。

ABSTRACT

It is proven that the Poincare symmetry determines equations of motion, which are for massless particles of any spin in d-dimensional spaces linear in the momentum. The proof is made only for even d and for fields with no gauge symmetry. We comment on a few examples. We pay attention only to spin degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 偶数次元時空 $ d = 2n $ におけるPoincaré対称性が、質量ゼロ場の運動方程式が運動量 $ p^a $ に関して線形であることを強制することを確立すること。
• 一般化されたパウリ＝ルバンスキー・ベクトル $ W^a $ を高次元に一般化し、質量ゼロ粒子状態を特徴付ける役割を定義すること。
• 偶数次元におけるPoincaré群の非可約表現が、$ (W^a = \alpha p^a)|\Phi\rangle $ の解に対応することを示し、$ \alpha $ がスピンとヘリシティによって決定されることを示すこと。
• これらの運動方程式が、偶数次元における反対称テンソル場に対して既知の一般化されたマクスウェル方程式に還元されることを示すこと。
• 反交換座標を用いて記述されるスピンおよび電荷の内部空間が、時空自由度とゲージ自由度を統合的に扱う役割を果たす仕組みを明確にすること。

提案手法

• $ d = 2n $ 次元におけるレヴィチビタ記号とローレンツ生成子 $ S^{ab} $ を用いて、一般化されたパウリ＝ルバンスキー・ベクトル $ W^a $ を導出する。
• 反交換座標を用いて内部空間を導入し、すべてのPoincaré生成子と可換なヘリシティ演算子 $ \Gamma^{(int)} $ を定義する。
• 運動量とスピン演算子の合成として演算子 $ \bar{S}_v^{ab} $ を構成し、$ \Gamma^{(int)} $ を介して $ W^a $ と関係づける。
• 非可約性を保証し、$ \rho = \frac{2^{n-2}}{(d-2)!} $ のような正規化定数を固定するために、条件 $ \Gamma^{(int)} = \pm 1 $ を課す。
• 恒等式 $ \bar{S}_v^{ab} = -i\Gamma^{(int)} S_v^{ab} $ を用いて、方程式 $ p_b \bar{S}_v^{ab} = \Gamma^{(int)} p^a $ を導出し、これが主要な運動方程式と等価であることを示す。
• 方程式 $ p_b \theta^b = 0 $ および $ p_b p_\theta^b = 0 $ が、$ d $ 次元における一般化されたマクスウェル方程式と等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元時空 $ d = 2n $ におけるPoincaré対称性は、任意スピンの質量ゼロ場の運動方程式が運動量に関して線形であることを一意に強制するか？
• RQ2 一般化されたパウリ＝ルバンスキー・ベクトル $ W^a $ を $ d = 2n $ 次元に一貫して定義することは可能か？ その定義が質量ゼロ粒子状態を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 反交換座標によって記述されるスピンおよび電荷の内部空間が、運動方程式の非可約性と整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 導出された方程式は、偶数次元における反対称テンソル場に対して既知の一般化されたマクスウェル方程式にどのように還元されるか？
• RQ5 $ W^a = \alpha p^a $ の定数 $ \alpha $ は、スピンおよびヘリシティの量子数から代数的に決定可能か？

主な発見

• Poincaré対称性と非可約性を仮定すれば、$ d = 2n $ 次元の偶数次元時空における質量ゼロ場の運動方程式は、運動量 $ p^a $ に関して必ず線形である。
• 一般化されたパウリ＝ルバンスキー・ベクトル $ W^a $ は、$ W^a = \rho \varepsilon^{ab}_{a_1\ldots a_{d-2}} p_b S^{a_1 a_2} \cdots S^{a_{d-3} a_{d-2}} $ として構成され、スピン系では $ \rho = \frac{2^{n-2}}{(d-2)!} $ である。
• 方程式 $ (p_b \bar{S}_v^{ab} = \Gamma^{(int)} p^a)|\Phi\rangle $ は、$ (W^a = \alpha p^a)|\Phi\rangle $ と等価であり、$ \alpha = \frac{\vec{S} \cdot \vec{p}}{|p^0|} $ であり、偶数次元におけるすべてのスピンで成り立つ。
• $ p_b \theta^b = 0 $ および $ p_b p_\theta^b = 0 $ は、運動方程式の必要十分条件として導かれ、$ d $ 次元における一般化されたマクスウェル方程式に対応する。
• スピン系では $ \alpha = \pm \frac{1}{2} $ であり、正規化定数 $ \rho $ は4次元ミンコフスキー空間におけるスピン固有値と一致するように保証される。
• 反交換座標による内部空間形式は、時空自由度とスピン／電荷自由度を統合的に幾何学的に記述可能であり、$ \Gamma^{(int)} = \pm 1 $ が非可約性を保証する。