[論文レビュー] Linear Logic without Units

Robin Houston|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モノイダル2圏における擬モノイドを用いて、乗法的線形論理のユニットレス断片の圏的モデルを構築し、高次元代数的構造の推論を簡略化するための新しい「コンポーネントの計算」を導入する。主な貢献は、プロモノイド的圏とユニットレス直観的および非直観的乗法的線形論理のモデルとの間の形式的同値性であり、高次元のケイリーの定理を用いたユニットの新しい特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We study categorical models for the unitless fragment of multiplicative linear logic. We find that the appropriate notion of model is a special kind of promonoidal category. Since the theory of promonoidal categories has not been developed very thoroughly, at least in the published literature, we need to develop it here. The most natural way to do this - and the simplest, once the (substantial) groundwork has been laid - is to consider promonoidal categories as an instance of the general theory of pseudomonoids in a monoidal bicategory. Accordingly, we describe and explain the notions of monoidal bicategory and pseudomonoid therein. The higher-dimensional nature of monoidal bicategories presents serious notational difficulties, since to use the natural analogue of the commutative diagrams used in ordinary category theory would require the use of three-dimensional diagrams. We therefore introduce a novel technical device, which we dub the calculus of components, that simplifies the business of reasoning about a certain class of algebraic structure internal to a monoidal bicategory. When viewed through this simplifying lens, the theory of pseudomonoids turns out to be essentially formally identical to the ordinary theory of monoidal categories. We indicate how the calculus of components may be extended to cover structures that make use of the braiding in a braided monoidal bicategory, and use this to study braided pseudomonoids. A higher-dimensional analogue of Cayley's theorem is proved, and used to deduce a novel characterisation of the unit of a promonoidal category. This, and the other preceding work, is then used to give two characterisations of the categories that model the unitless fragment of intuitionistic multiplicative linear logic. Finally we consider the non-intuitionistic case, where the second characterisation in particular takes a surprisingly simple form.

研究の動機と目的

• 標準的なスター自己対称圏では空のシークエントを解釈できることを考慮すると、ユニットレス乗法的線形論理の断片の圏的モデルを構築すること。
• ユニットレス線形論理でも空のコンテキストの解釈を必要とするという基礎的問題を解決し、従来のスター自己対称圏を超える新しい代数的構造を必要とすること。
• モノイダル圏の理論を、モノイダル2圏におけるプロモノイド的および擬モノイド的構造へ一般化し、既知の結果の体系的な翻訳を可能とすること。
• モノイダル2圏内の代数的構造の推論を簡略化するための表記的道具としての「コンポーネントの計算」を導入・形式化すること。
• ユニットレス直観的および非直観的乗法的線形論理をモデル化する圏の2つの特徴付けを提供すること。1つは擬モノイド的構造を介し、もう1つはユニットの新しい特徴付けを介する。

提案手法

• 本稿は、圏、プロファイター、自然変換のモノイダル2圏において、プロモノイド的圏を擬モノイドとして定式化する。
• 「コンポーネントの計算」——モノイダル2圏に内部する代数的構造の推論を簡略化するための新しい表記フレームワーク——を導入する。3次元図を避けることが可能になる。
• モノイダル2圏における擬モノイドの理論を第一原理から展開し、バーニングが存在しない場合にモノイダル圏の構造と類似していることを示す。
• ケイリーの定理の高次元版を証明し、これを用いてプロモノイド的圏におけるユニットの新しい内部的特徴付けを導出する。
• コンポーネントの計算をブレード構造へ拡張し、ブレード付き擬モノイドの研究を可能にする。
• この枠組みを応用して、ユニットレス直観的および非直観的乗法的線形論理が特定のクラスのプロモノイド的圏によってモデル化されることを示し、2つの異なる特徴付けを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なスター自己対称圏は空のシークエントを解釈するためにユニットを必要とするため、ユニットレス乗法的線形論理の断片の正しい圏的モデルは何か？
• RQ2 アドホックな定義に依存せずに、モノイダル圏の理論をプロモノイド的構造へ体系的に一般化する方法は何か？
• RQ3 モノイダル2圏に内部する代数的構造（特に擬モノイド）を扱うための統一的枠組みを、モノイダル圏理論の簡潔さを模倣する形で開発できるか？
• RQ4 プロモノイド的圏におけるユニットの役割は何か？そして、ユニット対象としての定義とは独立に特徴付けられるか？
• RQ5 ユニットレス直観的および非直観的乗法的線形論理のモデルはどのように異なり、それらを統一的または双対的な形で特徴付けられるか？

主な発見

• コンポーネントの計算は、モノイダル2圏内の代数的構造の推論を強力かつ簡略化する方法を提供し、複雑な3次元図の代わりに扱いやすい記号的計算を可能にする。
• モノイダル2圏における擬モノイドは、バーニングが存在しない場合に、モノイダル圏の理論の形式的構造を保持する形でモノイダル圏を一般化する。
• ケイリーの定理の高次元版が証明され、これによりプロモノイド的圏におけるユニット対象の新しい内部的特徴付けが可能になる。
• ユニットは、コンポーネントの計算とユニットの普遍性の性質を介して、その初期定義とは独立に一意に特徴付けられる。
• ユニットレス直観的乗法的線形論理の断片をモデル化する圏について、2つの異なる特徴付けが確立された：1つは擬モノイド的構造を介し、もう1つはユニットを含む普遍性を介する。
• 非直観的ケースでは、2番目の特徴付けが極めて単純な形を取り、直観的制約が欠如する際の構造的単純性が示唆される。