[論文レビュー] Linear Mappings of Free Algebra

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、加法的代数系における写像行列を用いた、非結合的かつ非可換な設定に一般化された体上の線型代数を越えた、新たなフレームワークを導入する。可換環上の線型写像はテンソル積 $A \otimes A$ を用いて表現可能であり、これを用いて共役を含む複雑な線形方程式系を解き、クォータニオンの共役を12×12の線形方程式系を用いて閉形式で表現する。主な結果として、$\overline{z} = -\frac{1}{6}(z + (iz)i + (jz)j + (kz)k + ((il)z)(il) + ((jl)z)(jl) + ((kl)z)(kl))$ が得られる。この手法はオクタニオンや除法代数へと拡張され、非結合的代数における線形変換を統一的に取り扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

For arbitrary F-algebra, in which the operation of addition is defined, I explore biring of matrices of mappings. The sum of matrices is determined by the sum in F-algebra, and the product of matrices is determined by the product of mappings. The system of equations, whose matrix is a matrix of mappings, is called a system of additive equations. I considered the methods of solving system of additive equations. As an example, I consider the solution of a system of linear equations over the complex field provided that the equations contain unknown quantities and their conjugates. Linear mappings of algebra over a commutative ring preserve the operation of addition in algebra and the product of elements of the algebra by elements of the ring. The representation of tensor product A\otimes A in algebra A generates the set of linear transformations of algebra A. The results of this research will be useful for mathematicians and physicists who deal with different algebras.

研究の動機と目的

• 加法的代数系における写像の行列形式を導入することで、結合的でない代数へと線型代数を一般化すること。
• 複素数体上で、変数とその共役を含む方程式系を、新たな種類の加法的方程式によって構造的に解くこと。
• 可換環上の代数 $A$ における線型写像を、テンソル積 $A \otimes A$ を用いて表現すること。
• クォータニオンおよびオクタニオンにおける共役の明示的公式を、$\mathbb{C}$ および $\mathbb{H}$ 上の線形方程式を用いて導出すること。
• 双線型写像と準行列式に基づく一貫した代数的枠組みを用いて、除法代数における線形変換を統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 写像の行列からなる二環を定義し、行列の加法は代数の加法に従い、行列の乗法は写像の合成に従う。
• 未知数が加法的代数の元であり、係数がスカラーではなく写像である加法的方程式の概念を導入する。
• 可換環上の代数 $A$ の線型写像を、$(a \otimes b) \circ x = axb$ で定義されるテンソル積 $A \otimes A$ の元として表現する。
• 特に非可換な状況において、加法的方程式系の解析に準行列式を用いる。
• オクタニオンにおける共役写像の行列表現から、12×12の線形方程式系を構成する。
• 特定の写像係数の値を仮定し、正規化係数 $-1/6$ を導出し、共役をねじれ乗法の線形結合として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数とその共役を含む方程式系は、どのように構造的な代数的枠組みで解けるか？
• RQ2 可換環上の代数 $A$ における線型写像の表現に、テンソル積 $A \otimes A$ が果たす役割は何か？
• RQ3 クォータニオンおよびオクタニオンにおける共役写像は、写像行列形式を用いてねじれ乗法の線形結合として表現可能か？
• RQ4 加法的方程式の理論は、結合的でない除法代数（例えばオクタニオン）へどのように拡張可能か？
• RQ5 代数 $A$ 上の線型写像のモジュール $\mathcal{L}(A;A)$ の正確な代数的構造は何か？また、$A$ の非可換性はその構造にどのように依存するか？

主な発見

• オクタニオンにおける共役写像は、ねじれ乗法を含む8項の線形結合として表現され、12×12の線形方程式系の解から導かれた係数を有する。
• 共役の公式における正規化係数は $-1/6$ であり、方程式系 $12f^{\boldsymbol{00}} = -f_7^0 + f_6^1 - f_5^2 - f_4^3 - 5f_3^4 + f_2^5 - f_1^6 - f_0^7$ や類似の式の解から導出される。
• 共役のための方程式系の解は $f^{\boldsymbol{00}} = f^{\boldsymbol{11}} = \cdots = f^{\boldsymbol{77}} = -1/6$ を満たし、解の対称性が確認される。
• 公式 $\overline{z} = -\frac{1}{6}(z + (iz)i + (jz)j + (kz)k + ((il)z)(il) + ((jl)z)(jl) + ((kl)z)(kl))$ は、オクタニオンの共役の閉形式表現として導出される。
• スカラー乗法の代わりに写像の合成を用いることで、このフレームワークは非結合的代数への線型代数の一般化に成功し、複素数、クォータニオン、オクタニオンの文脈における加法的方程式の解法を可能にする。
• 準行列式の理論と写像行列形式は、非可換かつ非結合的文脈においても、線形変換の解析に一貫したツールを提供する。