[論文レビュー] Linear scaling algorithms for solving high-dimensional nonlinear parabolic differential equations

E Weinan, Martin Hutzenthaler+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、フェインマン＝カックおよびビズム＝エルホイティ＝リーの公式を組み合わせ、マルチレベル・ピカール反復分解を用いて、高次元非線形放物型PDEを解くための新規線形スケーリングアルゴリズムを提案する。任意の $\delta > 0$ に対して、計算複雑度が $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ となることを示し、勾配に依存しない非線形性を有する半線形熱方程式に対して効率的な収束性を証明する。

ABSTRACT

We introduce a new family of numerical algorithms for approximating solutions of general high-dimensional semilinear parabolic partial differential equations at single space-time points. The algorithm is obtained through a delicate combination of the Feynman-Kac and the Bismut-Elworthy-Li formulas, and an approximate decomposition of the Picard fixed-point iteration with multilevel accuracy. The algorithm has been tested on a variety of semilinear partial differential equations that arise in physics and finance, with very satisfactory results. Analytical tools needed for the analysis of such algorithms, including a semilinear Feynman-Kac formula, a new class of semi-norms and their recursive inequalities, are also introduced. They allow us to prove for semilinear heat equations with gradient-independent nonlinearity that the computational complexity of the proposed algorithm is bounded by $O(d\,\varepsilon^{-(4+\delta)})$ for any $\delta \in (0,\infty)$ under suitable assumptions, where $d\in \mathbb{N}$ is the dimensionality of the problem and $\varepsilon\in(0,\infty)$ is the prescribed accuracy.

研究の動機と目的

• 物理学およびファイナンス分野における高次元非線形放物型PDEの計算的非実行可能性に対処すること。
• このようなPDEを効率的に解くための次元数に線形スケーリングする数値アルゴリズムを開発すること。
• 一般仮定の下で提案手法の複雑度境界を厳密に確立すること。
• 半線形フェインマン＝カック公式および再帰的半ノルム不等式を含む、新たな解析的ツールを導入すること。
• アルゴリズムが精度 $\varepsilon$ を $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ の複雑度で達成できることを証明すること、ここで任意の $\delta > 0$ である。

提案手法

• 解の確率的表現にフェインマン＝カック公式を、導出の推定にビズム＝エルホイティ＝リー公式を組み合わせる。
• 誤差を各レベルで制御するために、ピカール固定点反復のマルチレベル近似を採用する。
• 誤差伝播を分析するために、新たなクラスの半ノルムとその再帰的不等式を導入する。
• 解の過程を階層的レベルに分解することで、計算を効率化する。
• 物理学およびファイナンス分野の高次元テストケースを含む、半線形PDEに対して手法を検証する。
• 理論的分析は、確率的表現と再帰的誤差境界に依拠し、複雑度推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元非線形放物型PDEのための数値アルゴリズムは、次元数に線形スケーリングを達成できるか？
• RQ2 勾配に依存しない非線形性を有する半線形熱方程式を、確率的固定点反復で解く際の計算複雑度は何か？
• RQ3 フェインマン＝カックおよびビズム＝エルホイティ＝リーの公式をどのように組み合わせてマルチレベル近似を可能にするか？
• RQ4 高次元確率的PDEソルバーにおける誤差を束縛するために、どのような新たな解析的ツールが必要か？
• RQ5 適切な仮定の下で、提案手法が任意の $\delta > 0$ に対して $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ の複雑度を達成できるか？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、勾配に依存しない非線形性を有する半線形熱方程式を解く際、任意の $\delta > 0$ に対して計算複雑度 $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ を達成する。
• 係数および非線形項の適切な正則性と有界性仮定のもとで、複雑度の境界が成立する。
• ピカール反復のマルチレベル分解を活用することで、計算コストを低減しながら精度を維持する。
• 一般半線形放物型PDEの解を表現するための新しい半線形フェインマン＝カック公式が導出された。
• 誤差伝播を制御するために、新たなクラスの半ノルムに関する再帰的不等式が導入され、その応用がなされた。
• 物理学およびファイナンス分野のベンチマーク問題において、強い実証的性能が示された。