[論文レビュー] Linear systems and ramification points on reducible nodal curves

Eduardo Esteves|ArXiv.org|Aug 16, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ノード特異点を解消するための吹き出しを必要とせず、可約なノード付き曲線の族における分岐因子の極限のための公式を開発する。EisenbudとHarrisの極限線型系列理論を一般化し、ノードにおける分岐点に明確な重みを割り当てることで、非コンパクト型安定曲線における極限ウェイエルシュトラウス点の直接計算を可能にする。

ABSTRACT

In the 80's D. Eisenbud and J. Harris developed the general theory of limit linear series, Invent. math. 85 (1986), in order to understand what happens to linear systems and their ramification points on families of non-singular curves degenerating to curves of compact type. They applied their theory to the study of limits of Weierstrass points, among other endeavours. In one of their articles, Invent. math. 87 (1987), they asked: "What are the limits of Weierstrass points in families of curves degenerating to stable curves not of compact type?" In this eprint we address this question within a more general framework. More precisely, given a family of linear systems on a family of non-singular curves degenerating to a nodal curve we give a formula for the limit of the associated ramification divisors in terms of certain limits of the family of linear systems. In contrast with the theory of limit linear series of Eisenbud's and Harris', we do not need to blow up the family to swerve the degenerating ramification points away from the nodes of the limit curve. Indeed, we can assign the adequate weight to the limit ramification divisor at any point of the limit curve. In a forthcoming submission we shall deal with the specific question of limits of Weierstrass points, assuming certain generic conditions.

研究の動機と目的

• コンパクト型でない安定曲線へと退化する族におけるウェイエルシュトラウス点の極限に関して、EisenbudとHarrisが提起した未解決問題に取り組むこと。
• ノード特異点が標準的手法を複雑にする非コンパクト型退化への線型系列の極限理論を一般化すること。
• ノードを解消する吹き出しを用いず、極限曲線上で直接的に分岐因子の極限を計算する方法を提供すること。
• ノードにおける分岐点に明確な重みを割り当て、極限ウェイエルシュトラウス点の正確な数え上げを可能にすること。
• 一般条件の下でのウェイエルシュトラウス点の極限に関する今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 可約なノード付き曲線へと退化する線型系列族における分岐因子の極限公式を構築すること。
• 極限曲線の各成分における線型系列の内因的極限を用いて、極限分岐因子を定義すること。
• 制限された線型系列における零点の相対的位数に基づいて、ノードにおける分岐点に重みを割り当てること。
• 代数幾何学および退化理論の技術を用いて、非コンパクト型曲線を扱うこと。
• 全または部分的な吹き出しによるノードと分岐点の分離を回避すること。
• 双対グラフの構造と成分ごとの線型系列の解析に依拠して、グローバルな極限を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト型でない可約なノード付き曲線への退化において、線型系列の分岐因子はどのように振る舞うか？
• RQ2 ノードを解消せずに、特異な極限曲線上で分岐因子の極限を直接計算できるか？
• RQ3 極限因子におけるノードにおける分岐点にどのような重みを割り当てるべきか？
• RQ4 線型系列の極限理論をコンパクト型曲線を超えてどのように拡張できるか？
• RQ5 一般族において、このような極限因子の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 本論文は、成分における制限線型系列の観点から、可約なノード付き曲線における分岐因子の極限の公式を提供する。
• 極限因子は、退化の幾何学的性質を反映して、ノードに位置する分岐点に非ゼロの重みを割り当てる。
• EisenbudとHarrisの元来のアプローチとは異なり、ノードと分岐点を分離するために家族を吹き出す必要がない。
• ノードにおける分岐点に割り当てられる重みは、制限された線型系列における零点の相対的位数によって決定される。
• この構成は内因的であり、コンパクト型に限らない任意の型の安定曲線へと退化する家族に適用可能である。
• この枠組みにより、非コンパクト型曲線における極限ウェイエルシュトラウス点の計算が可能となり、一般性条件下での完全分類のための土台が整えられる。