[論文レビュー] Linearization of Regular Proper Groupoids

Alan Weinstein|ArXiv.org|Jul 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、軌道に有限型条件が成り立つ場合に、正則で適切なリー群コホロジーに対して線形化定理を確立する。その証明は、スライス定理とCrainicのコホロロジー消滅定理を用いた変形論的アプローチを組み合わせ、スライスからの線形化を全軌道へ拡張する。

ABSTRACT

Let G be a Lie groupoid over M such that the target-source map from G to M x M is proper. We show that, if O is an orbit of finite type (i.e. which admits a proper function with finitely many critical points), then the restriction G|U of G to some neighborhood U of O in M is isomorphic to a similar restriction of the action groupoid for the linear action of the transitive groupoid G|O on the normal bundle NO. The proof uses a deformation argument based on a cohomology vanishing theorem, along with a slice theorem which is derived from a new result on submersions with a fibre of finite type.

研究の動機と目的

• 有限型の軌道の近傍における正則で適切なリー群コホロロジーの局所線形化定理を確立すること。
• 適切な群作用の正規形を一般の正則で適切な群コホロロジーへ一般化すること。
• 群コホロロジーが軌道の正規バンドル上の線形作用群コホロロジーと局所的に同型であることを示すこと。
• 軌道における微分位相的有限性条件が、線形化が有効であるために必要な条件であることを示すこと。
• 正則な状況において、スライスからの局所線形化を全軌道へ拡張するスライス定理を構築すること。

提案手法

• スライス定理を用いて、軌道のスライス近傍での群コホロロジーの線形化問題に還元すること。
• Crainicのコホロロジー消滅定理を適用して、群コホロロジー構造をその線形近似へ変形すること。
• 群コホロロジーの正則性を活用し、スライスへの制限が本質的にエタール的であることを保証すること。
• 線形近似を、軌道の正規バンドル上の同型群作用群コホロロジーとして構成すること。
• 軌道上で有限個の臨界点を持つ滑らかな関数の存在という有限型条件を用いて、変形議論が適用可能であることを保証すること。
• スライスの結果と軌道の推移的構造を組み合わせ、同型を軌道の近傍へ拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則で適切なリー群コホロロジーは、有限型の軌道の近傍で線形化可能か？
• RQ2 このような線形化が存在するための軌道に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 群コホロロジーのスライス定理は、全群コホロロジーの線形化とどのように関係するか？
• RQ4 Crainicのコホロロジー消滅定理は、線形モデルへの変形をどの程度可能にするか？
• RQ5 この文脈において、軌道の有限型条件は自然かつ必須な要件か？

主な発見

• 有限型の軌道の近傍への正則で適切なリー群コホロロジーの制限は、その軌道の正規バンドル上の同型群作用群コホロロジーと同型である。
• 線形化は、Crainicのコホロロジー消滅定理に依拠する変形議論によって達成される。
• スライス定理により、正則な状況において、スライス上での群コホロロジーの線形化が全軌道へ拡張可能であることが保証される。
• 有限型条件—軌道上で有限個の臨界点を持つ滑らかな関数の存在—は、この文脈において必要かつ自然である。
• この結果は、適切な群作用の古典的線形化を、より広い正則で適切な群コホロロジーの枠組みへ一般化する。
• 証明により、正則で適切な群コホロロジーが局所的に線形作用によって記述可能であることが示され、非推移的群コホロロジーへの正規形理論の拡張が達成される。