[論文レビュー] Linearized polynomials over finite fields revisited

Baofeng Wu, Zhuojun Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上の線形化多項式の代数について、2つの新しい代数的特徴づけを提示する：1つは合成代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$ としてのもので、もう1つはディクソン行列代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ としてのものである。これらの同型は、線形化多項式の研究、特にトレース表現の導出や、行列論的手法によるランクおよび置換性質の分析を簡略化する。

ABSTRACT

We give new characterizations of the algebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ formed by all linearized polynomials over the finite field $\mathbb{F}_{q^n}$ after briefly surveying some known ones. One isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the composition algebra $\mathbb{F}_{q^n}^\vee\otimes_{\mathbb{F}_{q}}\mathbb{F}_{q^n}$. The other isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the so-called Dickson matrix algebra $\mathscr{D}_n(\mathbb{F}_{q^n})$. We also further study the relations between a linearized polynomial and its associated Dickson matrix, generalizing a well-known criterion of Dickson on linearized permutation polynomials. Adjugate polynomial of a linearized polynomial is then introduced, and connections between them are discussed. Both of the new characterizations can bring us more simple approaches to establish a special form of representations of linearized polynomials proposed recently by several authors. Structure of the subalgebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^m})$ which are formed by all linearized polynomials over a subfield $\mathbb{F}_{q^m}$ of $\mathbb{F}_{q^n}$ where $m|n$ are also described.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 上の線形化多項式の代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ の新しい代数的特徴づけを提供すること。
• 関連するディクソン行列のランクを用いて、線形化置換多項式に対するディクソンの基準を一般化すること。
• 線形化多項式のディクソン行列を用いて、随伴多項式を定義し、その性質を考察すること。
• $m|n$ のときの部分代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ の構造を、ブロック巡回行列とトレース表現を用いて記述すること。

提案手法

• 双対空間とテンソル積の構造を用いて、$\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ と合成代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$ 間の同型を構成する。
• $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ とディクソン行列代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 間の第二の同型を確立する。ここで行列は多項式の係数によって定義される。
• 線形化多項式の随伴多項式を、そのディクソン行列の随伴に付随する多項式として定義する。
• トレース関数と正規基底表現を用いて、線形化多項式の特別な形のトレース表現を導出する。
• $n=mt$ のとき、部分代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ がブロック巡回行列代数 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$ に同型であり、また $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$ に同型であることを示す。
• 行列論的手法を活用して、ディクソンの基準を一般化し、線形化多項式のランクがその関連するディクソン行列のランクに等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化多項式の代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ は、既知の同型以外に、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 線形化多項式のランクとその関連するディクソン行列のランクの正確な関係は何か？
• RQ3 ディクソン行列の随伴を用いて意味のある随伴多項式を定義できるか？また、その多項式はどのような性質を備えているか？
• RQ4 $m|n$ のとき、部分代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ の構造は何か？また、ブロック巡回行列を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 新しい同型は、線形化多項式のトレース表現の導出をどのように簡略化するか？

主な発見

• 線形化多項式の代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ は、合成代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$ に同型であり、線形化多項式の研究に新たな枠組みを提供する。
• 線形化多項式の代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ は、ディクソン行列代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ とも同型である。これにより、多項式の性質に対する行列論的手法による解析が可能になる。
• 線形化多項式のランクは、その関連するディクソン行列のランクに等しい。これは、置換多項式に対するディクソンの基準を一般化する。
• ディクソン行列の随伴は、再びディクソン行列である。これにより、構造的性質が保たれる随伴多項式を定義できる。
• $m|n$ のとき、部分代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ は、$n=mt$ のときブロック巡回行列代数 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$ に同型であり、また $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$ に同型である。これにより、その表現が簡略化される。
• 新しい同型を用いることで、線形化多項式のトレース表現が、特に $m=1$ の場合に、より体系的かつ簡略化された形で導出された。