[論文レビュー] Liouville type theorems, a priori estimates and existence of solutions for critical order Hardy-Hénon equations in $\mathbb{R}^{n}$

Wenxiong Chen, Wei Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、偶数次元 $n \geq 4$ における臨界型Hardy-Hénon方程式に対して、初めてのLiouville定理を確立し、$(-\Delta)^{n/2}u(x) = u^p(x)/|x|^a$ の唯一の非負解が $u \equiv 0$ であることを証明した。この結果を基に、著者らは一様な事前推定を導出し、吹き上がりおよび再スケーリング技術に基づく次数論的議論を用いて、有界領域における臨界型Navier問題の正の解の存在を示した。

ABSTRACT

In this paper, we consider the critical order Hardy-Hénon equations \begin{equation*} (-Δ)^{\frac{n}{2}}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}}, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \, \in \,\, \mathbb{R}^{n}, \end{equation*} where $n\geq4$ is even, $-\infty

研究の動機と目的

• 偶数次元 $n \geq 4$ における臨界型Hardy-Hénon方程式 $(-\Delta)^{n/2}u = u^p/|x|^a$ のLiouville型定理を確立すること。
• Liouville定理を用いて、有界領域における臨界型Lane-Emden方程式の正の解に対する一様な事前推定を導出すること。
• 位相的次数論を用いて、有界領域における臨界型Navier問題の正の解の存在を証明すること。
• 結果を臨界型を超える型のHardy-Hénon方程式および不等式へ拡張すること。
• 符号が変化する基本解 $(-\Delta)^{n/2}$ が、標準的な積分表現法の直接適用を不可能にするという課題に対処すること。

提案手法

• 局所的な移動平面法を用いて、唯一の非負解が $u \equiv 0$ であることを証明するLiouville定理を確立する。
• Liouville定理を鍵とする要素として、有界領域における解の均一な事前推定を導出する。
• 吹き上がりおよび再スケーリングの議論を用いて、解の列の挙動を分析し、非コンパクト性から矛盾を導出する。
• Banach空間における次数論を用い、Schauderの不動点定理を応用して解の存在を証明する。
• パrameter $t$ を用いたホモトピーを構築し、元の問題と摂動された問題を結びつける。事前推定を用いて解作用素のコンパクト性を保証する。
• $n$ 階Dirichlet問題の固有関数を用いて、解が無限大に発散すると仮定した場合に矛盾を導出し、スペクトルギャップ $\lambda_1$ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元 $n \geq 4$ における臨界型Hardy-Hénon方程式 $(-\Delta)^{n/2}u = u^p/|x|^a$ は、非自明な非負解をもつか？
• RQ2 Liouville型結果を用いて、有界領域における臨界型Lane-Emden方程式の正の解に対する事前推定を確立できるか？
• RQ3 導出された事前推定のもとで、有界領域における臨界型Navier問題の正の解の存在は保証されるか？
• RQ4 臨界型を超える型のHardy-Hénon方程式および不等式は、Liouville型定理および事前推定に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 $(-\Delta)^{n/2}$ の符号が変化する基本解が、標準的な積分表現法の使用を妨げる役割を果たすのはどのような点か？

主な発見

• 偶数次元 $n \geq 4$ における $(-\Delta)^{n/2}u = u^p/|x|^a$ の唯一の非負解は自明解 $u \equiv 0$ であり、このクラスの微分方程式に対して初めてのLiouville定理が確立された。
• Liouville定理および再スケーリングの議論を用いて、有界領域における臨界型Lane-Emden方程式の正の解に対する一様な事前推定が、摂動パrameter $t$ に依存しない形で得られた。
• 零境界条件を伴う臨界型Navier問題 $(-\Delta)^{n/2}u = u^p$ の正の解の存在が、次数論を用いて証明された。一様な事前推定がその根拠となった。
• 事前推定が $[0, C_2)$ の範囲で摂動パrameter $t$ に関して一様であることが示され、解作用素のコンパクト性が保証され、次数論的手法の適用が可能になった。
• 固有関数による比較とスペクトルギャップ $\lambda_1$ に依存する矛盾の導出法により、解が無限大に発散すると仮定した場合に矛盾が生じ、一様な有界性が確認された。
• 結果は臨界型を超える型のHardy-Hénon方程式および不等式へも拡張され、類似のLiouville定理および事前推定が確立された。