[論文レビュー] Lipschitz properties of convex mappings

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規の錐によって順序付けられた局所凸空間間の凸写像について、リプシッツ連続性の性質を確立し、勾配の単調性やセミノルムの正規性といった幾何的性質を用いて、スカラーの場合の結果をベクトル値設定に拡張する。主な貢献は、定義域空間がバーレル空間であるとき、点で有界な連続凸写像の族に対して局所的等リプシッツ連続性を証明することであり、古典的結果を距離空間および局所凸位相線形空間上のベクトル値凸関数へ一般化する。

ABSTRACT

The present paper is concerned with Lipschitz properties of convex mappings. One considers the general context of mappings defined on an open convex subset $Ω$ of a locally convex space $X$ and taking values in a locally convex space $Y$ ordered by a normal cone. One proves also equi-Lipschitz properties for pointwise bounded families of continuous convex mappings, provided the source space $X$ is barrelled. Some results on Lipschitz properties of continuous convex functions defined on metrizable topological vector spaces are included as well. The paper has a methodological character - its aim is to show that some geometric properties (monotonicity of the slope, the normality of the seminorms) allow to extend the proofs from the scalar case to the vector one. In this way the proofs become more transparent and natural.

研究の動機と目的

• 実数値凸関数に対する古典的リプシッツ連続性の結果を、順序付けられた局所凸空間値の凸写像へ拡張すること。
• 定義域空間がバーレル空間であるとき、連続凸写像の点で有界な族に対して等リプシッツ性を確立すること。
• 勾配の単調性やセミノルムの正規性といった幾何的性質が、スカラーからベクトル値の場合への自然な一般化を可能にすることを示すこと。
• ベクトル値凸解析の構造を明確にする透明で、方法論に従った証明を提供すること。

提案手法

• 正規の錐を備えた順序付けられた局所凸空間の理論を用いて、凸写像およびそのリプシッツ性を定義する。
• 正規の錐の概念を用いて、ベクトル値設定における連続性およびリプシッツ性を保証する。
• 距離空間における可算個のセミノルム族による位相の表現を用いて、リプシッツの境界を導出する。
• 例えば $ d(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \frac{p_n(x-y)}{1 + p_n(x-y)} $ のような平行移動不変距離を用いて、距離空間における局所的リプシッツ連続性を定義する。
• ハーン＝バナッハの定理と凸不等式を適用して、差 $ |f(x) - f(y)| $ をセミノルム $ p_m(x-y) $ の項で上から抑える。
• 定義域空間のバーレル性を用いて、凸写像の族に対する一様な制御を実現し、等リプシッツ境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数値凸関数に対する古典的リプシッツ連続性の結果を、順序付けられた局所凸空間値の凸写像へ拡張できるか。
• RQ2 順序の錐の正規性が、凸作用素のリプシッツ性および等リプシッツ性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ3 定義域空間（例えばバーレル空間または距離空間）にどのような条件下で、連続凸写像の点で有界な族が局所的等リプシッツ連続性を示すか。
• RQ4 勾配の単調性やセミノルムの正規性といった幾何的性質は、ベクトル値凸解析における証明をどのように簡素化・明確化できるか。

主な発見

• 距離空間である局所凸空間の開凸部分集合上で定義された任意の連続凸関数は、可算個のセミノルム族によって誘導される平行移動不変距離に関して局所的リプシッツ連続である。
• バーレルな局所凸空間から、正規の錐によって順序付けられた局所凸空間への連続凸写像の点で有界な族に対して、定義域上で局所的等リプシッツ連続性が成り立つ。
• $ \ell^p $（$ 0 < p < 1 $）の場合、開凸集合上で定義された任意の連続凸関数は、距離 $ d(x,y) = \sum_{k=1}^\infty |y_k - x_k|^p $ に関して局所的リプシッツ連続である。
• 距離 $ d(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \frac{p_n(x-y)}{1 + p_n(x-y)} $ は、距離空間である局所凸空間の位相を生成し、連続凸関数の局所的リプシッツ連続性を保証する。
• 証明技法はセミノルムの正規性と勾配の単調性に依拠しており、スカラーからベクトル値設定への自然な一般化を可能にする。
• 反例により、平行移動不変でない距離でさえ、同じ位相を誘導しても、リプシッツ連続性を保つとは限らないことが示された。