[論文レビュー] Lipschitz regularity results for nonlinear strictly elliptic equations and applications

Olivier Ley, Vinh Duc Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Ishii-Lions法の洗練された応用により、ハミルトニアンにおける任意の勾配成長を有する非線形強厳密楕円型方程式の粘性解について、パラメータ ε や t に依存しない一様な勾配バインディングを確立する。主な貢献は、解の L∞ 範囲に依存しない一様な勾配バインディングを提供することであり、これにより、解のノルム依存性に依存せずに、定常問題や放物型方程式の長時間挙動の解析が可能になる。

ABSTRACT

Most of lipschitz regularity results for nonlinear strictly elliptic equations are obtained for a suitable growth power of the nonlinearity with respect to the gradient variable (subquadratic for instance). For equations with superquadratic growth power in gradient, one usually uses weak Bernstein-type arguments which require regularity and/or convex-type assumptions on the gradient nonlinearity. In this article, we obtain new Lipschitz regularity results for a large class of nonlinear strictly elliptic equations with possibly arbitrary growth power of the Hamiltonian with respect to the gradient variable using some ideas coming from Ishii-Lions' method. We use these bounds to solve an ergodic problem and to study the regularity and the large time behavior of the solution of the evolution equation.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンにおける任意の勾配成長を有する非線形強厳密楕円型方程式の粘性解について、一様な勾配バインディングを確立すること。
• ハミルトニアンに凸性や正則性仮定を要しない古典的 Bernstein 法の限界を克服すること。
• 解の L∞ 範囲に依存しないバインディングを導出する手法を開発すること。これは、定常問題や長時間挙動の研究において極めて重要である。
• ハミルトニアンが勾配変数に関して超二次的または任意の成長を示す場合、H が Hölder 継続的または不連続であっても、既存の正則性結果を拡張すること。
• 得られた正則性結果を応用して、定常問題を解き、時間発展方程式の漸近的挙動を解析すること。

提案手法

• 拡散行列 A(x) の強厳密性を用いて、ハミルトニアン内の強い非線形性を制御するため、Ishii-Lions 法を適応する。
• 最大点におけるサブ・スーパーソリューションの比較に、障害関数 Ψ(|x−y|) を用いた摂動されたテスト関数法を用いる。
• σ(x) の構造に適合した正規直交基底を構築し、D²v および行列 B を含むトレース項を推定する。
• |σ(x)−σ(y)| および |σ⁻¹(x)−σ⁻¹(y)| の推定を用いて、ε や t に一様に依存しないトレース項のバインディングを達成する。
• A(x)≥νI の強厳密性条件を用いて、σ(x) の逆行列存在を保証し、q=σ⁻¹(x)q を含む幾何的項を制御する。
• 粘性解理論を適用し、最大点における不等式を導出し、トレース推定と組み合わせて最終的な勾配バインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンにおける任意の勾配成長を有する非線形強厳密楕円型方程式の粘性解について、一様なリプシッツバインディングを取得できるか？
• RQ2 ハミルトニアンに凸性や強い正則性仮定を要さずに、このようなバインディングを達成できるか？
• RQ3 解の L∞ 範囲に依存しない勾配バインディングを導出可能か？これにより、定常極限や長時間挙動の研究が可能になるか？
• RQ4 Ishii-Lions 法は、勾配変数に関して超二次的または任意の成長を有する場合に、どのように適応可能か？
• RQ5 拡散行列 A(x) およびハミルトニアン H(x,p) にどのような条件が課されれば、ε や t に一様な勾配バインディングが保証されるか？

主な発見

• 本稿では、K がそれぞれ ε や t に依存しない一様なリプシッツバインディング |Dv^ε|∞ ≤ K および |Du(⋅,t)|∞ ≤ K を確立する。
• バインディングは最小限の仮定の下で得られる：A(x) は強厳密であり、H は x における Hölder 継続性と p における成長のバランス条件を満たす。
• H が Hölder 継続的または不連続であっても、連続解が存在する限り、本手法は適用可能である。
• 解の極限 ε→0 を取ることで、周期的設定における定常問題が解ける。
• 本手法により、放物型方程式の解の長時間挙動が、一様な勾配制御を用いて解析可能になる。
• 解析により、最終的な勾配バインディングに不可欠な洗練されたトレース推定 T ≤ 4νΨ′′ + CΨ′|x−y| + O(ϱ) が得られる。