[論文レビュー] List-decoding of Subspace Codes and Rank-Metric Codes up to Singleton Bound

Hessam Mahdavifar, Alexander Vardy|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、部分空間符号および折りたたみGabidulin符号のための新しい線形代数的リストデコードアルゴリズムを提示する。この手法は、シングルトン限界に達する情報理論的誤り訂正限界に到達する。$ s+1 $ 変数の補間多項式と線形化多項式を用いることで、コードレート $ R $ に対してデコード半径が $ 1 - R $ に近づくリストデコードが可能となり、リストサイズは $ \mathcal{Q}^{s-1} $ で抑えられる。これにより、ランク距離符号における最適な誤り訂正が達成される。

ABSTRACT

Subspace codes and rank-metric codes can be used to correct errors and erasures in network, with linear network coding. Subspace codes were introduced by Koetter and Kschischang to correct errors and erasures in networks where topology is unknown (the noncoherent case). In a previous work, we have developed a family of subspace codes, based upon the Koetter-Kschichang construction, which are efficiently list decodable. Using these codes, we achieved a better decoding radius than Koetter-Kschischiang codes at low rates. Herein, we introduce a new family of subspace codes based upon a different approach which leads to a linear-algebraic list-decoding algorithm. The resulting error correction radius can be expressed as follows: for any integer $s$, our list-decoder using $s+1$-interpolation polynomials guarantees successful recovery of the message subspace provided the normalized dimension of errors is at most $s(1-sR)$. The same list-decoding algorithm can be used to correct erasures as well as errors. The size of output list is at most $Q^{s-1}$, where $Q$ is the size of the field that message symbols are chosen from. Rank-metric codes are suitable for error correction in the case where the network topology and the underlying network code are known (the coherent case). Gabidulin codes are a well-known class of algebraic rank-metric codes that meet the Singleton bound on the minimum rank metric of a code. In this paper, we introduce a folded version of Gabidulin codes analogous to the folded Reed-Solomon codes of Guruswami and Rudra along with a list-decoding algorithm for such codes. Our list-decoding algorithm makes it possible to recover the message provided that the normalized rank of error is at most $1-R-ε$, for any $ε> 0$. Notably this achieves the information theoretic bound on the decoding radius of a rank-metric code.

研究の動機と目的

• 従来の構成を超えて、レートと誤り訂正能力のトレードオフを改善する部分空間符号のリストデコードアルゴリズムの開発。
• 特に折りたたみGabidulin符号を含むランク距離符号のリストデコードフレームワークの拡張により、情報理論的誤り訂正限界に到達すること。
• 多重度に基づく補間を回避する線形代数的デコード手法の設計により、アルゴリズムの簡素化を図りながらも高いデコード半径を維持すること。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、デコード半径が $ 1 - R - \epsilon $ に近づくことを示すこと。これはランク距離符号の理論的限界と一致する。

提案手法

• 線形化多項式上での $ s+1 $ 変数補間多項式に基づく、新たな部分空間符号の族を導入。
• 補間とすべての可能なメッセージ部分空間を求めるために、線形方程式系を用いる。解空間が線形であることを保証する。
• 誤り構造を捉える線形化補間多項式 $ E(X) $ を定義。これは $ f_{\mathbfsl{u}}(X), f_{\mathbfsl{u}}(\gamma X), \dots, f_{\mathbfsl{u}}(\gamma^{s-1}X) $ を用いて構成される。
• $ E(X) $ の $ (g-t)(h-s+1) $ 個の線形独立な根の存在を用いて、十分な条件下で $ E(X) \equiv 0 $ であることを証明し、正しくデコードされることを保証する。
• 折りたたみReed-Solomon符号に類似した折りたたみGabidulin符号構成を適用し、高レートのリストデコードを実現。誤り訂正は $ 1 - R - \epsilon $ まで可能。
• 不等式 (17) を用いてデコード半径の上限を導出し、$ t < \frac{gs}{s+1}\left(1 - \frac{h}{h-s+1}R\right) $ のとき正しくデコード可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重度に基づく補間の複雑さを回避する線形代数的リストデコードアルゴリズムを、部分空間符号に対して設計可能か？
• RQ2 リストデコードによるランク距離符号の最大正規化誤り訂正半径は何か？また、シングルトン限界に達するか？
• RQ3 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、折りたたみGabidulin符号は $ 1 - R - \epsilon $ の誤り率までリストデコード可能か？
• RQ4 リストサイズは、特に体のサイズと補間多項式の数に関して、どのようにコードパラメータに依存するか？

主な発見

• 提案されたリストデコードアルゴリズムは、誤りの正規化次元が $ s(1 - sR) $ 以下である限り、メッセージ部分空間の復元を保証する。これは従来の構成を改善する。
• 出力リストのサイズは、$ \mathcal{Q} $ をメッセージ記号が抽出される体のサイズとして、最大 $ \mathcal{Q}^{s-1} $ で抑えられる。
• 折りたたみGabidulin符号では、$ s $ と $ h $ が $ s \ll h $ の条件下で大きくなるにつれて、正規化デコード半径は $ 1 - R $ に近づき、情報理論的限界に達する。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、デコード半径が $ 1 - R - \epsilon $ に達する。リストサイズは $ \mathcal{Q}^{O(1/\epsilon)} $ で抑えられ、誤り訂正能力の最適性が証明される。
• 線形代数的アプローチにより、補間における多重度の必要性が回避され、アルゴリズムの簡素化が図られながらも高い性能を維持する。