[論文レビュー] List H-Coloring a Graph by Removing Few Vertices

Rajesh Chitnis, László Egri+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、入力グラフ G から高々 k 個の頂点を削除することでリスト H-彩色を行う問題のパrameterized 複雑性を導入し、研究している。すべての (P₆, C₆)-自由な二部グラフ H に対して、固定パrameter可 tractability (FPT) を示している。主な貢献は、頂点被覆、奇サイクルトランスバーサル、および頂点マルチウェイカットを統一的に扱う FPT アルゴリズムであり、これは新しい帰着手法により、Clause Deletion Chain-SAT と呼ばれる充足可能性問題に帰着される。

ABSTRACT

In the deletion version of the list homomorphism problem, we are given graphs G and H, a list L(v) that is a subset of V(H) for each vertex v of G, and an integer k. The task is to decide whether there exists a subset W of V(G) of size at most k such that there is a homomorphism from G \ W to H respecting the lists. We show that DL-Hom(H), parameterized by k and |H|, is fixed-parameter tractable for any (P6, C6)-free bipartite graph H; already for this restricted class of graphs, the problem generalizes Vertex Cover, Odd Cycle Transversal, and Vertex Multiway Cut parameterized by the size of the cutset and the number of terminals. We conjecture that DL-Hom(H) is fixed-parameter tractable for the class of graphs H for which the list homomorphism problem (without deletions) is polynomial-time solvable; by a result of Feder, Hell and Huang (1999), a graph H belongs to this class precisely if it is a bipartite graph whose complement is a circular arc graph. We show that this conjecture is equivalent to the fixed-parameter tractability of a single fairly natural satisfiability problem, Clause Deletion Chain-SAT.

研究の動機と目的

• 入力グラフ G から高々 k 個の頂点を削除できる場合のリスト H-彩色のパrameterized 複雑性を研究すること。
• k と |H| をパラメータとして、削除版問題 DL-Hom(H) が固定パrameter可 tractable (FPT) となるようなターゲットグラフ H を特定すること。
• 頂点被覆、奇サイクルトランスバーサル、および頂点マルチウェイカットといった既知の FPT 問題を、DL-Hom(H) の一様な枠組みの下で統合すること。
• H の補グラフが円弧グラフであるようなすべての二部グラフ H に対して、DL-Hom(H) が FPT であると予想するが、これは自然な充足可能性問題への帰着に基づく。

提案手法

• DL-Hom(H) 問題を、変数が鎖に配置され、含意的節が一貫性を保証する Clause Deletion Chain-SAT (ℓ′-VDCS) と呼ばれる充足可能性問題の変種に帰着する。
• VDCS 公式における変数の割り当てを用いて、H の円弧表現における弧に頂点を割り当てることで、G∖W から H へのホモモーフィズムを構築する。
• (P₆, C₆)-自由な二部グラフの構造を活用し、H の補グラフの円弧表現が、頂点像の一貫性と効率的な割り当てを可能にする。
• G の頂点削除を VDCS 公式の変数削除にマッピングする、新規の帰着技術を用いる。この帰着は、有効なホモモーフィズムの存在を保持する。
• サイズが高々 k の削除集合 W が存在することと、W に対応する変数を削除した後の VDCS 公式の充足可能性との間に同値性を証明する。
• 既知の円弧グラフの構造的結果とホモモーフィズムの性質を活用し、帰着の正しさと完全性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k と |H| をパラメータとして、H の補グラフが円弧グラフであるようなすべての二部グラフ H に対して、DL-Hom(H) は FPT か？
• RQ2 DL-Hom(H) 問題は、削除に基づくホモモーフィズム問題の複雑性を捉える、単一の自然な充足可能性問題に帰着可能か？
• RQ3 H が 7 頂点のパスである場合、既存の帰着ではまだ解決されていないが、DL-Hom(H) 問題は FPT か？
• RQ4 H にループを含む場合、特にバイアークグラフの場合、DL-Hom(H) の FPT 可 tractability は、固定側リストが適用できない状況においても拡張可能か？
• RQ5 d 条の辺を持つマッチング H に対して、DL-Hom(H) 問題は、削除集合のサイズのみをパラメータとして FPT 時間で解けるか？

主な発見

• DL-Hom(H) は、k と |H| をパラメータとして、すべての (P₆, C₆)-自由な二部グラフ H に対して FPT であり、頂点被覆、奇サイクルトランスバーサル、頂点マルチウェイカットを統合的に扱う。
• 問題は、Clause Deletion Chain-SAT (ℓ′-VDCS) 公式の充足可能性と同値であることが示され、グラフホモモーフィズムと充足可能性の間の新しい接続が確立された。
• DL-Hom(H) から ℓ′-VDCS への帰着は双対的である：サイズ k の削除集合 W が存在するための必要十分条件は、W に対応する変数を削除した VDCS 公式が充足可能であることである。
• 証明により、G の辺制約が VDCS 公式の含意的節に対応し、円弧モデルにおける一貫性のある弧の交差を保証することで、ホモモーフィズム条件が維持されることを示した。
• H が単一の頂点である特殊ケースでは問題は頂点被覆に還元され、H が単一の辺である場合は奇サイクルトランスバーサルに還元され、両者とも特殊ケースとして回復された。
• 著者らは、H の補グラフが円弧グラフであるようなすべての二部グラフ H に対して DL-Hom(H) が FPT であると予想し、これは ℓ′-VDCS の FPT 可 tractability と同値であることを示した。