[論文レビュー] LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory

Ryan J. Caverly, James Richard Forbes|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 152被引用数 76

ひとこと要約

SDPと数値ツールに関するガイダンスを含む、システム、安定性、制御のためのLMI特性・コツ・適用の包括的でコミュニティ主導の総覧。

ABSTRACT

Linear matrix inequalities (LMIs) commonly appear in systems, stability, and control applications. Many analysis and synthesis problems in these areas can be solved as feasibility or optimization problems subject to LMI constraints. Although most well-known LMI properties and manipulation tricks, such as the Schur complement and the congruence transformation, can be found in standard references, many useful LMI properties are scattered throughout the literature. The purpose of this document is to collect and organize properties, tricks, and applications related to LMIs from a number of references together in a single document. In this sense, the document can be thought of as an "LMI encyclopedia" or "LMI cookbook." Proofs of the properties presented in this document are not included when they can be found in the cited references in the interest of brevity. Illustrative examples are included whenever necessary to fully explain a certain property. Multiple equivalent forms of LMIs are often presented to give the reader a choice of which form may be best suited for a particular problem at hand. The equivalency of some of the LMIs in this document may be straightforward to more experienced readers, but the authors believe that some readers may benefit from the presentation of multiple equivalent LMIs.

研究の動機と目的

• 文献全体に散在するLMI特性とコツを統合・整理し、システム、安定性、制御理論での利用を目的とする。
• 問題固有の定式化と解法を支援するため、複数の同値LMI形を提供する。
• 確定性、LMIs、SDPといった基礎概念と、LMIsを解くための実践的な数値ツールを解説する。
• 連続時間系および離散時間系における解析・設計問題の基盤としてLMIsがどのように機能するかを示す。

提案手法

• LMIs、確定性、および行列不等式の定義と表記を提示する。
• Schur補完、Youngの関係、射影補題、拡張などを含むLMI特性とコツを整理・分類する。
• LMIsの最適化フレームワークとしての半正定値計画（SDP）と二重性の概念を論じる。
• SDPソルバーやLMIパーサを含む数値ツールとそれらの相互運用性を説明する。
• 制御理論における安定性、散逸性、および性能分析においてLMIsがどのように現れるかを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御理論の問題を再定式化する際に最も有用なLMI特性とコツは何か？
• RQ2 特定の解析や設計タスクに合わせて、異なる同値のLMI形をどのように活用できるか？
• RQ3 Lyapunov解析、Bounded Real、H2/H∞ノルム、および関連レマにおいて、LMIsとSDPsはどのような役割を果たすか？
• RQ4 実務でLMIベースの最適化を最も効果的にサポートする数値ツール（ソルバー、パーサ）はどれか？

主な発見

• LMIsは、システム、安定性、および制御における実現可能性と最適化問題の凸的枠組みを提供する。
• Schur補間、合同変換、Youngの関係、射影補題など、幅広いLMI操作技法が柔軟な再定式化を可能にする。
• LMIsはLyapunov不等式、Bounded Real Lemmas、KYP、散逸性、さまざまなノルムおよび安定性分析を含む広範な結果の基盤である。
• 数値ツール（SDPソルバーとLMIパーサ）は、行列形のLMIを計算の標準SDP形に変換するのを容易にする。
• 本資料は、連続時間系および離散時間系のLMIの定式化と解法を支援する多数の特性とコツを整理・明確化する。