[论文解读] LMI representations, determinants of monic linear pencils and decomposition into irreducible pencils

Tom-Lukas Kriel|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文提供了Helton和McCullough关于自由谱体结果的新证明与推广，表明即使参考点不是零点，由首一线性矩阵多项式定义的有界矩阵凸集仍是自由谱体。研究证明了行列式可约性蕴含矩阵多项式可约性，从而可分解为不可约且极小的分量。

ABSTRACT

In 2009 Helton and McCullough proved: If $p \in S(\mathbb{C}\! \!)^{\delta imes \delta}$ is a hermitian matrix polynomial with $p(0)=I_\delta$ and the connected components $\mathcal{D}_p(0)(k)$ of the sets $\{ X \in (S\mathbb{R}^{k imes k})^n | p(X) ext{ is invertible}\}$ containing $I_k \otimes 0$ are bounded and form a matrix convex set, then $\mathcal{D}_p(0)$ is a free spectrahedron. We will give a new proof of this statement and generalize it by showing what happens when $0$ is replaced by a matrix point. Apart from that we show how the minimal size of all descriptions of a free spectrahedron $\mathcal{D}_L$ defined by a monic linear pencil $L$ is encryted in the level hierarchy of the set $\mathcal{D}_L$. Furthermore we look at the determinants of monic linear pencils $L$ and analyze what can be said about properties of $\mathcal{D}_L$ using only those determinants. Although the determinants carry basically the same information as the pencil, this information is harder to access. We show: If $L$ is a monic linear pencil and the determinants of $L$ are reducible on each level, then also $L$ is reducible as a pencil. This fact allows us to deduce that linear pencils allow a decomposition as a direct sums of simultaneously irreducible and minimal ones.

研究动机与目标

• 将Helton与McCullough关于自由谱体的定理推广，用任意矩阵点替代原点作为参考点。
• 利用集合的层级结构表征自由谱体描述的最小尺寸。
• 分析自由谱体的性质如何从其定义的首一线性矩阵多项式的行列式中推导得出。
• 建立首一线性矩阵多项式行列式的可约性与其自身可约性之间的联系。

提出的方法

• 将Helton与McCullough原始证明的框架适配至任意矩阵点而非原点。
• 分析自由谱体的层级结构，以确定其线性矩阵不等式（LMI）表示的最小尺寸。
• 将首一矩阵多项式的行列式作为其结构的代理，研究其在各层级上的代数性质。
• 应用矩阵凸性和线性代数技术，将谱性质与结构分解相关联。
• 在矩阵多项式的不可约性与极小性背景下，运用相关概念推导出分解定理。
• 证明：若在每一层级上行列式均可约，则矩阵多项式本身也可约，从而可实现直和分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参考点非原点时，由首一矩阵多项式定义的矩阵凸集在何种条件下仍为自由谱体？
• RQ2 自由谱体的层级结构如何编码其LMI表示的最小尺寸？
• RQ3 从首一矩阵多项式在每一层级上的行列式可约性中，可恢复其矩阵多项式结构的哪些信息？
• RQ4 首一矩阵多项式行列式的可约性与矩阵多项式本身的可约性之间是否存在直接关系？
• RQ5 每个首一矩阵多项式是否都能分解为同时不可约且极小的矩阵多项式的直和？

主要发现

• 本文将Helton-McCullough定理推广至任意矩阵点，证明由首一矩阵多项式定义的有界矩阵凸集仍为自由谱体。
• 自由谱体的LMI表示的最小尺寸由集合的层级结构编码，层级越深表示最小表示的尺寸越大。
• 若首一矩阵多项式的行列式在每一层级上均可约，则该矩阵多项式本身作为线性矩阵多项式也可约。
• 在每一层级上行列式可约意味着矩阵多项式可分解为更小矩阵多项式的直和。
• 每个首一矩阵多项式均可分解为同时不可约且极小的矩阵多项式的直和，从而确立了其典范形式。