[論文レビュー] Local and Parallel Finite Element Algorithm Based On Multilevel Discretization for Eigenvalue Problem

Yu Li, Xiaole Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、細粒度の固有値問題を粗粒度の固有値問題と局所境界値問題に段階的に還元することで、固有値問題を解くためのマルチレベル局所的かつ並列的な有限要素法を提案する。この手法は、プロセッサあたりの計算作業が最適であるとともに、標準的な有限要素法と比較して著しく効率が向上した最適収束率を達成する。

ABSTRACT

A local and parallel algorithm based on the multilevel discretization is proposed in this paper to solve the eigenvalue problem by the finite element method. With this new scheme, solving the eigenvalue problem in the finest grid is transferred to solutions of the eigenvalue problems on the coarsest mesh and a series of solutions of boundary value problems by using the local and parallel algorithm. The computational work in each processor can reach the optimal order. Therefore, this type of multilevel local and parallel method improves the overall efficiency of solving the eigenvalue problem. Some numerical experiments are presented to validate the efficiency of the new method.

研究の動機と目的

• 科学計算に生じる大規模固有値問題を効率的に解くための数値的手法を開発すること。
• 細かいメッシュ上の有限要素固有値問題を解く際の計算コストを低減すること。
• 局所的かつ並列的な計算を通じて、解の収束速度を最適化するとともに、プロセッサあたりの計算作業を最小限に抑えること。
• マルチレベル補正および局所有限要素技術を、スケーラビリティが向上した固有値問題に拡張すること。

提案手法

• 細粒度固有値問題を粗粒度固有値問題と局所境界値問題に段階的に分解するためのマルチレベル離散化フレームワークを用いる。
• 各レベルで境界値問題を局所的かつ並列的な有限要素法により解くことで、独立的かつ同時に計算を実行可能にする。
• 最適収束順序を維持するマルチレベル補正スキームを用いて、解を繰り返し補正する。
• 計算作業がプロセッサあたり最適であることを保証し、問題サイズに応じて効率的にスケーリングする。
• 線形および二次有限要素を用いて実装され、構造的および非構造的グリッド上で数値的検証が行われた。
• 複数固有値への拡張が可能であり、適応的グリッド・リファインメント技術とも組み合わせ可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチレベル局所的かつ並列的なアルゴリズムは、有限要素固有値問題に対して最適収束を達成できるか？
• RQ2 提案手法は、標準的な有限要素ソルバーと比較して計算コストを低減できるか？
• RQ3 解の精度を維持したまま、プロセッサあたりの計算作業を最適化できるか？
• RQ4 粗いメッシュサイズ $H$ および局所パッチサイズ $\delta$ の選択が収束性および効率に与える影響は何か？
• RQ5 本手法は複数固有値および非線形固有値問題に拡張可能か？

主な発見

• 提案されたマルチレベル局所的かつ並列的なアルゴリズムは、線形有限要素では収束順序2、二次要素では収束順序4を達成し、理論的期待と一致する。
• 数値実験により、最初の5つの固有値の誤差低減が約2.0の最適順序に従うことが確認され、メッシュサイズが小さくなるにつれて収束率は2.0に近づく。
• 最初の固有関数に関して、$H^1$-誤差低減は約0.9996の最適収束順序を示し、ほぼ最適収束であることを示している。
• 特に二次要素では、$\delta$ が小さくても収束順序4が維持され、最適収束が保たれている。
• プロセッサあたりの計算作業が最適であり、局所的かつ並列的な計算の性質により、複数プロセッサ間でのスケーリングが効率的である。
• 変動する拡散係数およびポテンシャル項を含む数値例により、複数固有値や複雑な係数行列に対しても、本アルゴリズムは効果的かつ正確に機能することが示された。