[論文レビュー] Local boundedness for weak solutions to some quasilinear elliptic systems

Salvatore Leonardi, Francesco Leonetti+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非対角係数の台に新たな構造的条件を導入することで、発散型の準線形楕円型系の弱解の局所有界性を確立する。この条件により、非零の非対角相互作用が、両方の解成分の絶対値が大きい場合にのみ発生することを保証し、De Giorgiの反例を効果的に除外する。これにより、反復的正則性技法を適用して局所有界性を証明することが可能になる。

ABSTRACT

We consider quasilinear elliptic systems in divergence form. In general, we cannot expect that weak solutions are locally bounded because of De Giorgi's counterexample. Here we assume a condition on the support of off-diagonal coefficients that "keeps away" the counterexample and allows us to prove local boundedness of weak solutions.

研究の動機と目的

• 一般の準線形楕円型系では、De Giorgiの反例により弱解が有界でないことがあるという事実を是正すること。
• 反例が適用されないよう、係数行列に課すべき構造的条件を同定すること。
• スカラー系や三重対角系に限らない、構造的非対角結合を持つより広いクラスの系へ、既知の有界性結果を拡張すること。
• 非対角係数の台に基づく、弱解の局所有界性のための新たな十分条件を提示すること。

提案手法

• 新たな構造的条件を導入：$ a^{eta,eta}_{i,j}(x,y) \neq 0 $ かつ $ \alpha \neq \beta $ ならば、$ |y^\alpha| > L \Rightarrow |y^\beta| > L $ が成り立つ。これにより、非対角結合が両成分が大きい場合にのみ発生することを保証する。
• この台条件を用いて、$ u(x) = x/|x|^\gamma $ のような特異性が形成されず、有界性が破られないようにする。
• 反復的正則性議論を用いる。最初の成分から出発し、スカラー系からの勾配の減衰および Hölder 継続性を活用する。
• エネルギー法と新条件下での系の構造を用いて、球上で事前推定を確立する。
• 従来の仮定（例：(1.9)）から導かれないことの証明として、構成された反例を提示する。
• 切り上げ関数を用いた比較およびテスト技法により、部分レベル集合における弱解の一様有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 De Giorgiの反例が適用される準線形楕円型系において、弱解の局所有界性を回復できるか。
• RQ2 非対角係数にどのような構造的条件を課すれば、反例が成立せず、有界性が回復できるか。
• RQ3 非対角係数の台に課された新条件は、(1.9) や三重対角性よりも厳密に弱いか。
• RQ4 この新条件を用いることで、三重対角系を超えた反復的正則性技法を拡張できるか。
• RQ5 この新条件は、系が対角型でも三重対角型でもない場合にも、有界性を保証できるか。

主な発見

• 非対角係数の台に課された条件（非零結合が両成分が大きい場合にのみ発生）により、De Giorgi型特異性が防止される。
• この条件下で、準線形系の弱解は局所的に有界である。これは、古典的な De Giorgi-Nash-Moser 結果が系の場合に拡張されたものである。
• 構造的条件は、(1.9) よりも厳密に弱く、構成された反例により、新条件を満たすが(1.9)を満たさない系が存在することが示された。
• 本手法により、反復的有界性証明が可能である。各成分は、制御された勾配減衰のおかげで、直前の成分からの正則性を引き継ぐ。
• 標準的仮定（可測な $ x $-依存性、連続な $ y $-依存性、有界性、係数行列の強楕円性）の下でも、結果は成り立つ。
• 反例により、新条件が(1.9)を含まないことが確認され、その新規性およびより広い適用可能性が裏付けられた。