[論文レビュー] Local cohomology and support for triangulated categories

Dave Benson, Srikanth B. Iyengar+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンpactに生成される三角関手的圏におけるサポートの定義を、作用する中心的な次数付きネーター的環に関する局所コホホロジー関手を用いて統一的な枠組みで提示する。この枠組みにより、可換環、完全交差、群表現の既存理論が回復され、さらに洗練され、有限性条件が成り立たない場合に三角関手的サポートとコホホロジー的サポートが一致しないことが示される。

ABSTRACT

We propose a new method for defining a notion of support for objects in any compactly generated triangulated category admitting small coproducts. This approach is based on a construction of local cohomology functors on triangulated categories, with respect to a central ring of operators. Suitably specialized one recovers, for example, the theory for commutative noetherian rings due to Foxby and Neeman, the theory of Avramov and Buchweitz for complete intersection local rings, and varieties for representations of finite groups according to Benson, Carlson, and Rickard. We give explicit examples of objects whose triangulated support and cohomological support differ. In the case of group representations, this allows us to correct and establish a conjecture of Benson.

研究の動機と目的

• コンパクト生成かつ小余積を持つ三角関手的圏における対象の一般化されたサポートの概念を構築すること。
• 可換ネーター的環、完全交差的局所環、有限群表現の既存のサポート理論を、一つの枠組みで統合すること。
• 有限性条件が成り立たない場合に、三角関手的サポートとコホホロジー的サポートの関係を明確にすること。
• 中心的な作用環に関して三角関手的圏に局所コホホロジー理論を確立し、対象の幾何的解析を可能にすること。
• 群表現理論における予想を是正・確認することにより、三角関手的サポートとコホホロジー的サポートの違いを明らかにすること。

提案手法

• 小余積を持つコンパクト生成三角関手的圏 T を定義し、その次数付きネーター的環 R が次数中心 Z(T) に写像するようにする。
• 環 R を用いて、スキームのグロテンディークの局所コホホロジーを一般化した、T 上の局所コホホロジー関手を構成する。
• T の対象 X に対して、四つの公理（コホホロジー比較、直交性、完全性、分離性）を満たすサポート割り当て supp_R(X) を導入する。
• サポートの専用閉包とコンパクト対象の和を用いて、コンパクト生成子上のコホホロジーに基づいて三角関手的サポートを表現する。
• 具体的な応用例として、可換ネーター的環（Foxby-Neeman）、完全交差（Avramov-Buchweitz）、群表現（Benson-Carlson-Rickard）を扱う。
• 有限生成コホホロジーを持つ場合、三角関手的サポート supp_R(X) はコホホロジー的サポート supp_R(H*(X)) に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的な作用環を用いて、小余積を持つすべてのコンパクト生成三角関手的圏に対して、統一的なサポート理論を定義可能か？
• RQ2 R 上でコホホロジー加群が有限生成でない場合、三角関手的サポートとコホホロジー的サポートの関係はいかなるものか？
• RQ3 提示されたサポート理論は、可換環、完全交差、群表現の既存理論を回復し、洗練できるか？
• RQ4 群表現理論におけるサポート多様体に関する予想を理論が是正・検証できるか？
• RQ5 局所コホホロジー関手は、三角関手的圏における対象のサポート構造をどのように整理するか？

主な発見

• 四つの公理（コホホロジー比較、直交性、完全性、分離性）を満たすサポート割り当て supp_R(X) が一意に存在する。
• R 上で有限生成コホホロジーを持つ対象に対しては、三角関手的サポート supp_R(X) はコホホロジー的サポート supp_R(H*(X)) に等しい。
• 明示的な例により、R 上でコホホロジーが有限生成でない場合、三角関手的サポートとコホホロジー的サポートが異なることがあることが示される。
• 完全交差的環上の複体のサポートは、古典的手法の洗練であり、各素点における局所サポートをファイバーが符号化する。
• 本理論により、完全交差的環上の複体のサポート多様体に対する連結性定理が得られ、Bergh の結果が回復される。
• 本フレームワークにより、群表現理論における予想が是正され、三角関手的サポートがコンパクト生成子を通じてコホホロジー的情報を検出できることを示している。