[論文レビュー] Local Computation Algorithms for (Minimum) Spanning Trees on Expander Graphs

Pan Peng, Wang, Yuyang|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 0

ひとこと要約

要約: 論文は展張グラフ上の連結木と最小全域木(MST)の局所計算アルゴリズム(LCA)を設計し、サブ線形のプローブ複雑性と Erdős-Rényi グラフでの平均ケース改善を達成する。

ABSTRACT

We study \emph{local computation algorithms (LCAs)} for constructing spanning trees. In this setting, the goal is to locally determine, for each edge $ e \in E $, whether it belongs to a spanning tree $ T $ of the input graph $ G $, where $ T $ is defined implicitly by $ G $ and the randomness of the algorithm. It is known that LCAs for spanning trees do not exist in general graphs, even for simple graph families. We identify a natural and well-studied class of graphs -- \emph{expander graphs} -- that do admit \emph{sublinear-time} LCAs for spanning trees. This is perhaps surprising, as previous work on expanders only succeeded in designing LCAs for \emph{sparse spanning subgraphs}, rather than full spanning trees. We design an LCA with probe complexity $ O\left(\sqrt{n}\left(\frac{\log^2 n}{ϕ^2} + d\right)\right)$ for graphs with conductance at least $ ϕ$ and maximum degree at most $ d $ (not necessarily constant), which is nearly optimal when $ϕ$ and $d$ are constants, since $Ω(\sqrt{n})$ probes are necessary even for expanders. Next, we show that for the natural class of \emph{\ER graphs} $ G(n, p) $ with $ np = n^δ $ for any constant $ δ> 0 $ (which are expanders with high probability), the $ \sqrt{n} $ lower bound can be bypassed. Specifically, we give an \emph{average-case} LCA for such graphs with probe complexity $ \tilde{O}(\sqrt{n^{1 - δ}})$. Finally, we extend our techniques to design LCAs for the \emph{minimum spanning tree (MST)} problem on weighted expander graphs. Specifically, given a $d$-regular unweighted graph $\bar{G}$ with sufficiently strong expansion, we consider the weighted graph $G$ obtained by assigning to each edge an independent and uniform random weight from $\{1,\ldots,W\}$, where $W = O(d)$. We show that there exists an LCA that is consistent with an exact MST of $G$, with probe complexity $\tilde{O}(\sqrt{n}d^2)$.

研究の動機と目的

• 中央集約ローカルモデルにおける連結木とMSTのLCAを動機づけ定義する。
• 保証付きのサブ線性プローブLCAが展張グラフで存在することを示す。
• G(n,p)に対して連結木の平均ケースLCAを開発し、重み付き展張グラフのMSTへ技術を拡張する。
• 連結構造におけるプローブ複雑性、伝導度、次数のトレードオフを分析する。
• ランダムグラフモデルのLCAの制約と能力について洞察を提供する。

提案手法

• d-境界を持つ展張グラフで伝導度 φ を持つ場合、エッジ所属クエリに答えるLCAを、プローブ複雑性 O(√n (log^2 n/φ^2 + d)) で提案する。
• 遅延ランダムウォーク、コアツリー、辞書式結合を用いた参照アンカーを持つ3段階のグローバル連結木アルゴリズムを構築する。
• np = n^δ を満たす Erdős-Rényi グラフ G(n,p) に拡張し、平均ケースLCAをプローブ複雑性 ŋ~O(√(n^{1−δ}))として得る。
• 重み付き展張グラフ上の正確なMSTを {1,...,W} の重みで実現するための技術を適用し、W = O(d) のときプローブ複雑性 ŋ~O(√n d^2) を得る。
• 重み層の階層的視点と無重みの連結木を参照として用い、Kruskal風の層別アプローチを用いて、重み付き展張グラフのMST構築を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCAはサブ線形プローブで展張グラフ上の(最小)連結木を計算できるか。
• RQ2 展張グラフ上の連結木のプローブ複雑性は何で、伝導度 φ と次数 d はそれにどう影響するか。
• RQ3 平均ケースのLCAは Erdős-Rényi グラフ G(n,p) の worst-case 下限を上回るのか。
• RQ4 ランダム重みを持つ展張グラフ上で正確なMSTを導くLCAは存在するか、そのプローブ複雑性はどれくらいか。
• RQ5 辞書式結合とアンカー構造は locality と一貫性にどのような影響を与えるか。

主な発見

• 伝導度少なくとも φ、d-境界グラフに対して、連結木のエッジ所属クエリに答える LCA がプローブ複雑性 O(√n( log^2 n/φ^2 + d ))、木の深さは O(log n/φ^2)。
• np = n^δ (δ>0) の G(n,p) に対して、連結木の平均ケースLCAがプローブ複雑性 ŋ~O(√(n^{1−δ}))。
• δ→1 のとき、プローブ複雑性は密グラフで多項式対数時間または定数に近づき、 worst-case 展張グラフより性能が改善される。
• ランダム重み {1,…,W}（W = O(d)） を持つ重み付き展張グラフ上の正確なMSTのLCAが存在し、プローブ複雑性 ŋ~O(√n d^2)。
• MST構築は重みによるKruskal風の層別と、参照としての無重み連結木、および一貫性を保つランクベース選択を組み合わせて行われる。