[論文レビュー] Local convexity in CAT(\kappa)-spaces

Kai‐Uwe Bux, Stefan Witzel|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間からのティーツェの古典的結果を一般化して、完備な CAT(κ)-空間において、局所的凸性が弱い条件下で大域的凸性を意味することを確立する。主な貢献は、CAT(0)空間および局所コンパクトな CAT(κ)-空間における閉・連結部分集合の凸性基準であり、特にチャーマーに弱い法線条件を課すことによって、エウクレシアングレーブィングにおける凸集合の構成に応用する。

ABSTRACT

Heinrich Tietze has shown that for a closed connected subset of euclidean space being convex is a local property. We generalize this to CAT(0)-spaces and locally compact CAT(\\kappa) spaces. As an application we give a construction of certain convex sets in euclidean buildings.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から CAT(0) 空間および局所コンパクトな CAT(κ) 空間に、ティーツェの局所的から大域的への凸性定理を拡張すること。
• CAT(κ)-空間における局所的凸な閉部分集合が大域的凸であるための十分条件を確立すること。
• チャーマーにおける弱い法線条件を用いた、エウクレシアングレーブィングにおける凸性の新しい基準を提供すること。
• 主な凸性基準とは独立して、エウクレシアングレーブィングにおけるリトラクションの逆像に対する凸性の別証明を提供すること。

提案手法

• CAT(κ)-空間において、長さ ≤ Dκ の道が大域的測地線であるための必要十分条件は、局所的測地線であることであるという事実を利用する。
• 完備かつ局所コンパクトな長さ空間において最短路の存在を保証するため、ホフプ・ライノウの定理を適用する。
• 局所的凸性を、閉部分集合 A の任意の点 x に対して、ある近傍 B(x,ε) において A ∩ B(x,ε) が B(x,ε) 内で凸であるという性質として定義する。
• 弱い法線条件を導入する：境界点 a ∈ ∂A および a を含む壁 H に対して、a における法線ベクトルが、固定されたチャーマー C を含まない半空間へ向かうように存在すること。
• エウクレシアングレーブィング X のアパルトメント Σ へのリトラクション写像 ρΣ,C: X → Σ を用い、Σ 上の凸集合を X へ引き戻す。
• 測地線をリトラクションによる像を分析し、特に A からの距離に関して「上行」するかどうかに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(κ)-空間において、どのような条件下で局所的凸性が大域的凸性を意味するか？
• RQ2 κ > 0 のとき、局所的から大域的への凸性結果に直径制限が必要か？
• RQ3 主定理における局所コンパクト性の仮定を除去できるか？
• RQ4 リトラクションの逆像が凸であることを保証する幾何的条件は何か？
• RQ5 局所的な幾何的データを用いて、エウクレシアングレーブィングの凸部分集合をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 完備な CAT(0)-空間において、閉・連結で局所的凸な部分集合は大域的凸である。
• κ > 0 である局所コンパクトな CAT(κ)-空間において、長さ計量における直径が Dκ = π/√κ 以下であれば、閉・連結で局所的凸な部分集合は Dκ-凸である。
• κ > 0 のとき、直径条件は必要不可欠であり、反例によって示される。
• エウクレシアングレーブィングのユークリッドコクセター複体 A ⊆ において、任意の境界点 a ∈ ∂A および a を含む壁 H に対して、a における法線ベクトルが、固定されたチャーマー C を含まない半空間へ向かうように存在するとき、弱い法線条件を満たす。
• A ⊆ Σ が弱い法線条件を満たし、A ∩ C ≠ ∅ であれば、逆像 ρΣ,C⁻¹(A) はエウクレシアングレーブィング X 内で凸である。
• 弱い法線条件は ε-平行集合において保存される：A が弱い法線条件を満たすならば、A+ε も同様に満たす。