[論文レビュー] Local correlation entropy

Vladimı́r Špitalský|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Neural dynamics and brain function被引用数 1

ひとこと要約

本稿は力学系における局所的相関エントロピーを調査し、トポロジカルグラフ上では、局所的相関エントロピーの上界がトポロジカルエントロピーに等しいことを証明している。さらに、正のトポロジカルエントロピーを有するが、すべての点において局所的相関エントロピーがゼロである厳密にエルゴディックな部分シフトを構成し、特定の系においては二つの測度の間で根本的な乖離が生じることを示している。

ABSTRACT

Local correlation entropy, introduced by Takens in 1983, represents the exponential decay rate of the relative frequency of recurrences in the trajectory of a point, as the embedding dimension grows to infinity. In this paper we study relationship between the supremum of local correlation entropies and the topological entropy. For dynamical systems on graphs we prove that the two quantities coincide. Moreover, there is an uncountable set of points with local correlation entropy arbitrarily close to the topological entropy. On the other hand, we construct a strictly ergodic subshift with positive topological entropy having all local correlation entropies equal to zero. As a necessary tool, we derive an expected relationship between the local correlation entropies of a system and those of its iterates.

研究の動機と目的

• 力学系における局所的相関エントロピーとトポロジカルエントロピーの関係を確立すること。
• トポロジカルグラフ上での力学系について、局所的相関エントロピーの上界がトポロジカルエントロピーに等しいかどうかを調査すること。
• 正のトポロジカルエントロピーが正の局所的相関エントロピーを意味しないことを示す反例を構成すること。
• 系の写像の反復における局所的相関エントロピーのスケーリング挙動を導出し、証明すること。

提案手法

• 局所的相関エントロピーを、埋め込み次元を増加させた際の軌道セグメントにおける再帰頻度の指数的減衰率として定義する。
• 相関和 $ C^f_m(x, n, \varepsilon) $ 及びその上极限・下极限を用いて、上界および下界の局所的相関エントロピーを定義する。
• 組合せ論的補題を用いて、$ f $ の相関和とその反復 $ f^k $ の相関和を関連付け、$ \bar{h}_{\text{cor}}(f^k, x) = k \cdot \bar{h}_{\text{cor}}(f, x) $ を証明する。
• パラメータ $ p \geq 3 $ を用いた再帰的語の連結により、厳密にエルゴディックな部分シフトを構成する。$ m_j, l_j, r_j $ を定義し、語の頻度を制御する。
• 許容される語の増加率を評価することで、トポロジカルエントロピー $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $ が成り立つことを証明する。
• 一意な不変測度 $ \mu $ が $ \tilde{\mu}(n) \geq c / n^\alpha $ を満たすような $ \alpha $ が存在することを示し、$ \lim_n (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $ となることから、$ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $ であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルグラフ上での力学系について、局所的相関エントロピーの上界がトポロジカルエントロピーに等しいか？
• RQ2 厳密にエルゴディックな系が正のトポロジカルエントロピーを有するが、すべての点で局所的相関エントロピーがゼロであることは可能か？
• RQ3 系の写像の反復において、局所的相関エントロピーはどのようにスケーリングするか？
• RQ4 記号的力学系における語の数の増加率とそれによるトポロジカルエントロピーの関係は何か？

主な発見

• トポロジカルグラフ上での力学系について、局所的相関エントロピーの上界はトポロジカルエントロピーに等しい。
• 局所的相関エントロピーがトポロジカルエントロピーに任意に近い点からなる非可算集合が存在する。
• 正のトポロジカルエントロピーを有するが、すべての点で局所的相関エントロピーが正確にゼロである厳密にエルゴディックな部分シフトが構成された。
• 構成された部分シフトのトポロジカルエントロピーは $ h_{\text{top}}(\sigma) = \lim_{j \to \infty} \lambda_j > 0 $ であり、$ \lambda_j = \log m_j / l_j $ で与えられ、$ m_j, l_j $ は再帰的に定義される。
• 一意な不変測度の相関エントロピーはゼロである。$ \lim_{n \to \infty} (-1/n) \log \tilde{\mu}(n) = 0 $ より、$ h_{\text{cor}}(\sigma, \mu) = 0 $ である。
• 部分シフトのすべての点における局所的相関エントロピーはゼロであるため、この場合、局所的相関エントロピーは正のトポロジカルエントロピーを検出できないことが確認された。