[論文レビュー] Local Hamiltonians with No Low-Energy Stabilizer States

Nolan J. Coble, Matthew Coudron+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、CSS符号を単一クビットのクラiffordゲートによる回転で変更することで、低エネルギー部分空間に安定化状態（Clifford回路で準備可能な状態）を含まない局所的ハミルトニアンの族を構築する。主な貢献は、『低エネルギー安定化状態なし』（NLCS）ハミルトニアンを体系的に生成する手法であり、先行するNLTS構成を拡張し、安定化状態と自明な状態の両方を同時に回避することで、量子PCPへの道筋を提供する。

ABSTRACT

The recently-defined No Low-energy Sampleable States (NLSS) conjecture of Gharibian and Le Gall [GL22] posits the existence of a family of local Hamiltonians where all states of low-enough constant energy do not have succinct representations allowing perfect sampling access. States that can be prepared using only Clifford gates (i.e. stabilizer states) are an example of sampleable states, so the NLSS conjecture implies the existence of local Hamiltonians whose low-energy space contains no stabilizer states. We describe families that exhibit this requisite property via a simple alteration to local Hamiltonians corresponding to CSS codes. Our method can also be applied to the recent NLTS Hamiltonians of Anshu, Breuckmann, and Nirkhe [ABN22], resulting in a family of local Hamiltonians whose low-energy space contains neither stabilizer states nor trivial states. We hope that our techniques will eventually be helpful for constructing Hamiltonians which simultaneously satisfy NLSS and NLTS.

研究の動機と目的

• サンプル可能な状態の扱いやすい部分クラスとしての安定化状態に焦点を当て、『低エネルギーでサンプル可能な状態が存在しない』（NLSS）予想に対処すること。
• 低エネルギー部分空間にすべての安定化状態を含まない局所的ハミルトニアンを構築することにより、NLSS予想を強化すること。
• 先行するNLTS構成（例：ABN22）を拡張し、安定化状態と自明な状態の両方を同時に除外すること。
• 任意のCSSハミルトニアンを定数深さの回路で回転させることで、NLTSおよびNLSSを満たすハミルトニアンが得られるかどうかを検討すること。
• 古典的に扱いやすい低エネルギー状態を回避することで、最終的に量子PCP予想を満たすハミルトニアンを構築するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• CSS符号に関連する局所的ハミルトニアンを、各キュービットに $ e^{-i\pi/8 Y} $ を適用する回転によって変更し、安定化構造を変形する。
• 古典コードのパリティーチェック行列のテンソル積を用いて、グローバルな安定化生成子を構築し、すべての行が奇数重みを持つようにする。
• 量子タンナーコードおよび漸近的に良い量子LDPCコード（LZ22）の性質を活用し、結果のハミルトニアンが局所的であり、定数のプロミスギャップを持つことを保証する。
• 安定化生成子の重みとその回転による変化を分析することで、回転されたハミルトニアンが定数エネルギー閾値未満の安定化状態を含まないことを証明する。
• Anshu, Breuckmann, and Nirkhe (ABN22) のNLTSハミルトニアンにこの手法を適用し、低エネルギー部分空間に安定化状態も自明な状態も含まない新たな族を生成する。
• 明示的な構成と確率的技法を用いて、必要な奇数重み条件を満たす行列の存在を示し、コード距離が大きい場合にNLCS性が高確率で成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低エネルギー部分空間に安定化状態を含まない局所的ハミルトニアンを構築することは可能か？
• RQ2 各キュービットに $ e^{-i\pi/8 Y} $ で回転させたCSSハミルトニアンは、低エネルギー安定化状態を含まないハミルトニアンをもたらすか？
• RQ3 ABN22のNLTS構成を、安定化状態と自明な状態の両方を同時に除外できるように変更することは可能か？
• RQ4 任意のCSSハミルトニアンに対しても、特に安定化生成子がすべて偶数重みである場合でも、NLCS構成を拡張することは可能か？
• RQ5 P ≠ #P を仮定すると、ゼロハミルトニアンを低深さ回路で回転させることでNLSSハミルトニアンが得られるか？

主な発見

• 著者らは、$ e^{-i\pi/8 Y} $ を用いたCSSコードベースのハミルトニアンの回転により、明示的な局所的ハミルトニアンの族を構築し、その系においてNLCS性が成り立つことを証明した。
• 特定の単純なハミルトニアン $ \tilde{H}_0 = \frac{1}{n} \sum_i (e^{i\pi/8 Y} |1\rangle\langle1| e^{-i\pi/8 Y})_i $ に対して、Clifford + 1 T ゲート回路で準備された状態のエネルギーに鋭い下界が存在することを証明した。
• ハミルトニアン $ \tilde{H}_0 $ に対して、Clifford + t 個のTゲートを用いた状態のエネルギーは、すべての $ t \leq n $ に対して鋭い下界を持つと予想されており、Tゲート数の増加に伴いエネルギーが上昇することを示唆している。
• この手法はABN22のNLTSハミルトニアンに対しても成功裏に拡張され、低エネルギー部分空間に安定化状態も自明な状態も含まない新たな局所的ハミルトニアン族が得られた。
• 回転後、XおよびZ安定化のためのすべてのグローバルパリティーチェック行列の行が奇数重みを持つことが保証され、これが安定化状態の除外に鍵となる。
• 結果として、任意のCSSハミルトニアンを定数深さ回路で回転させることで、NLTSおよびNLSSの両方を満たすハミルトニアンが得られる可能性があるが、これは未解決であり、さらなる技術的発展が求められる。