[論文レビュー] Local integrands for the five-point amplitude in planar N=4 SYM up to five loops

Raquel G. Ambrosio, Burkhard Eden+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エネルギー運動量多重項の4点相関関数に適用した双対共形対称性およびグラフ理論的手法を用いて、平面N=4 SYM理論における5点振幅の完全な局所的被積分関数を5ループまで構成する。この手法は、4点関数に関する先行研究を5点振幅へと拡張し、BCJおよび超ツイスター表現と3ループまで一致する、明示的に局所的で双対共形的である形の短い表現をもたらす。

ABSTRACT

Integrands for colour ordered scattering amplitudes in planar N=4 SYM are dual to those of correlation functions of the energy-momentum multiplet of the theory. The construction can relate amplitudes with different numbers of legs. By graph theory methods the integrand of the four-point function of energy-momentum multiplets has been constructed up to six loops in previous work. In this article we extend this analysis to seven loops and use it to construct the full integrand of the five-point amplitude up to five loops, and in the parity even sector to six loops. All results, both parity even and parity odd, are obtained in a concise local form in dual momentum space and can be displayed efficiently through graphs. We have verified agreement with other local formulae both in terms of supertwistors and scalar momentum integrals as well as BCJ forms where those exist in the literature, i.e. up to three loops. Finally we note that the four-point correlation function can be extracted directly from the four-point amplitude and so this uncovers a direct link from four- to five-point amplitudes.

研究の動機と目的

• 平面N=4 SYM理論における4点から5点振幅への局所的被積分関数の構成を拡張すること。
• エネルギー運動量多重項の相関関数と散乱振幅の間の双対性を活用し、5点振幅の被積分関数を生成すること。
• グラフ理論的手法を用いて、全振幅について5ループまで、偶性保存項については6ループまで到達すること。
• 得られた被積分関数が局所的であり、明示的に双対共形的であり、既存の超ツイスターおよびスカラー積分表現と整合することを保証すること。
• 4点振幅から抽出可能な4点相関関数を通じて、4点と5点振幅の間の直接的リンクを確立すること。

提案手法

• 平面N=4 SYMの散乱振幅とエネルギー運動量テンソル多重項の相関関数の間の双対性を利用する。
• 4点相関関数に既に7ループまで構成済みのグラフ理論的手法を適用し、5点振幅の被積分関数を導出する。
• 双対運動量空間変数を用いて、非局所的BCFW再帰出力の回避を図り、局所的で簡潔な形で被積分関数を表現する。
• ローレンツ不変量およびイプシロンテンソル（例：$ϵ_{123456}$）を用いてパリティ奇性構造を符号化し、対称的表現により並進不変性を保持する。
• パリティ奇性不変量 $ϵ_{123456}$ を $X_i$ ベクトルと基準ベクトル $I$ を用いた分解によりスカラー不変量に変換し、スカラー積分形式の既存文献と比較可能にする。
• 被積分関数の係数 $\alpha_i, \beta$ を、$Y = \sum \alpha_i X_i + \beta I$ の分解において、行列式および恒等式を用いて、運動量空間での明示的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面N=4 SYMにおける5点振幅被積分関数を、5ループまで局所的かつ明示的に双対共形的形で構成する方法は何か？
• RQ2 エネルギー運動量多重項の4点相関関数と5点振幅との間の明確な数学的構造は何か？
• RQ3 被積分関数内のパリティ奇性構造を一貫的に符号化し、スカラー不変量に表現する方法は何か？
• RQ4 得られた結果は、既存の超ツイスター変数およびBCJ表現における局所的形とどの程度一致するか？
• RQ5 4点相関関数を用いて、5点振幅被積分関数を直接生成でき、4点と5点振幅の間の直接的双対性を確立できるか？

主な発見

• 平面N=4 SYMにおける5点振幅の全被積分関数が、相関関数双対性を用いて5ループまで局所的かつ双対共形的形で構成された。
• 5点振幅のパリティ保存項の被積分関数は6ループまで構成され、先行研究を拡張した。
• 被積分関数はローレンツ不変量およびイプシロンテンソルで表現され、$\epsilon_{123456} \sim \sum \alpha_i x_{i6}^2 - \beta$ のような対称的表現により並進不変性が保持される。
• 係数 $\alpha_i$ と $\beta$ は、計量 $(X_i \cdot X_j)$ の行列逆行列を用いて求められ、二乗距離および4テンソル $\epsilon(p_1,p_2,p_3,p_4)$ の関数として明示的表現が得られる。
• 結果は3ループまで既知のBCJおよび超ツイスター形式と一致し、既存の文献と整合することが確認された。
• 4点相関関数は4点振幅から直接抽出可能であり、エネルギー運動量多重項を通じて4点から5点振幅への直接的双対性の経路が確立された。