[论文解读] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^ au$ or right before $S^{ au-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文在连续过滤扩展框架下，建立了局部本地鞅贴现因子存在的必要与充分条件，其中资产价格在违约时间 τ 之前被停止。通过利用 Azéma 上鞅及其可预测乘法分解，作者基于 Azéma 上鞅的可预测乘法局部鞅部分 L 的倒数构造了 Sτ– 的 G-局部本地鞅贴现因子，推广了先前在违约风险下对交易对手风险和融资成本的研究结果。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Az\'ema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Az\'ema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

研究动机与目标

• 通过将 [6, 7] 的框架扩展为使用局部本地鞅贴现因子变换而非概率测度变换，将 '条件 (A)' 技术推广至更广泛的模型。
• 确定在 S 是具有 F-局部本地鞅贴现因子的 F-半鞅时，预违约过程 Sτ–（在违约前停止）在何种条件下允许存在 G-局部本地鞅贴现因子。
• 根据违约时间 τ 的 Azéma 上鞅 Z，显式构造 Sτ– 的 G-局部本地鞅贴现因子，特别是通过其乘法分解 Z = LD。
• 阐明 Z 的首次零点 ζ（分解为 η、9η 和 :η）在确定违约时刻贴现因子行为中的作用。
• 提供一种方法，从市场信息 G 和违约时间 τ 推断出与 G 在 [0, τ) 上一致的子过滤 F。

提出的方法

• 引入双过滤结构：F ⊂ G，其中 G 仅在违约时间 τ 之后与 F 不同，且通过假设 2.1 确保 F 在 [0, τ) 上与 G 一致。
• 使用 Doob-Meyer 分解 Z = m + a 和 Azéma 上鞅 Z 的可预测乘法分解 Z = LD（来自 [17]）。
• 在引理 3.9 中提出新公式 D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a)，将乘法分解 Z = LD 扩展至整个时间轴，并确保 das 不在 {L⁻ = 0} 上聚集质量。
• 在第 6 节中应用约化技术，表征在 [0, τ) 上存在的 G-局部本地鞅，特别是通过引理 6.6，将 G-局部本地鞅与其 F-约化形式关联。
• 将 Sτ– 的 G-局部本地鞅贴现因子构造为 F-局部本地鞅贴现因子与因子 Mτ– / Lτ– 的乘积，其中 M 依赖于 S。
• 利用 Jeulin-Yor 公式和由条件期望导出的过滤，从 G₀ 和 τ 检测 F₀，尤其在严格密度或 Cox 时间假设下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 S 具有 F-局部本地鞅贴现因子的前提下，Sτ– 在何种条件下允许存在 G-局部本地鞅贴现因子？
• RQ2 如何将 Azéma 上鞅的乘法分解 Z = LD 扩展至整个时间轴，同时保持 das 不在 {L⁻ = 0} 上聚集质量的条件？
• RQ3 Z 的首次零点 ζ 的精确作用是什么？其组成部分 η、9η 和 :η 如何影响 Sτ– 的 G-局部本地鞅贴现因子的存在性与结构？
• RQ4 能否正式确认 G-贴现因子与 F-贴现因子除以 L 成正比的猜想？在何种条件下成立？
• RQ5 如何从市场过滤 G 和违约时间 τ 恢复子过滤 F₀，尤其在严格密度或 Cox 时间假设下？

主要发现

• 定理 7.10 提供了 Sτ– 存在 G-局部本地鞅贴现因子的必要与充分条件，基于 Azéma 上鞅及其分解的行为。
• 引理 3.9 建立了公式 D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a)，将乘法分解 Z = LD 扩展至整个时间轴，并确保 das 在 {L⁻ = 0} 上无质量。
• Sτ– 的 G-局部本地鞅贴现因子被构造为 F-局部本地鞅贴现因子与 Mτ– / Lτ– 的乘积，其中 M 是依赖于 S 的过程，从而确认了乘法猜想。
• 引理 6.6 中的约化结果通过其 F-约化形式表征了在 [0, τ) 上存在的 G-局部本地鞅，构成贴现因子构造的核心。
• 在严格密度假设（假设 9.10）下，τ 的分布由密度函数决定，且 K(t) 限制在 F₀₈ 上等价于 Q，其密度为 ppt,·)/EQ[ppt,·)]。
• 在 Cox 时间示例（假设 9.11）中，当 das 与勒贝格测度奇异时，给定 F₀₈ 的 τ 的条件分布不绝对连续，且 K(t) 在 F₀₈ 上不被 Q 控制，表明严格密度假设并非该框架成立的必要条件。