[論文レビュー] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^\mathfrak{t}$ or just before $S^{\mathfrak{t}-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、停止時刻 τ における資産過程 S^τ もしくは S^{τ−} の G-局所 martingale デフレーターの存在に関する必要十分条件を、フィルトレーション拡大枠組みを用いて確立している。主な結果は、このようなデフレーターが F-局所 martingale デフレーターの倍率であることを示しており、その倍率は τ の Azéma 上 martingale の乗法的分解から得られる。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Azema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Azema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

研究の動機と目的

• 停止資産過程 S^τ もしくは S^{τ−} が G-局所 martingale デフレーターをもつための条件を特定すること。
• デフォルト時刻と局所 martingale デフレーターを組み込んだフィルトレーション拡大の理論的枠組みを確立すること。
• G-局所 martingale デフレーターの構造を F-局所 martingale デフレーターと τ の Azéma 上 martingale の観点から特徴づけること。
• 市場情報から適切なフィルトレーション拡大設定の存在を推論する方法を提供すること。

提案手法

• F ⊂ G であるフィルトレーション拡大設定を用い、F は基本的フィルトレーション、G は拡大フィルトレーションである。
• 停止時刻 τ に関連する Azéma 上 martingale の乗法的分解を適用する。
• S^τ および S^{τ−} に対する G-局所 martingale デフレーターを、F-局所 martingale デフレーターと Azéma 上 martingale からの特定の乗法的要因の積として構成する。
• Azéma 上 martingale と局所 martingale デフレーターの詳細な解析を通じて、このようなデフレーターの存在に必要な十分条件を導出する。
• フィルトレーション拡大理論、局所 martingale デフレーター、および上 martingale 分解の結果を用いて、核心的な定理を確立する。
• 観察可能な市場情報からフィルトレーション拡大設定を推論する構成的メソッドを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止過程 S^τ が G-局所 martingale デフレーターをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 S^{τ−} に対して G-局所 martingale デフレーターが存在しうるか。その必要十分条件は何か？
• RQ3 G-局所 martingale デフレーターの構造は、F-局所 martingale デフレーターと τ の Azéma 上 martingale とどのように関係しているか？
• RQ4 Azéma 上 martingale の乗法的分解は、G-局所 martingale デフレーターの構築において果たす役割は何か？
• RQ5 市場情報から適切なフィルトレーション拡大設定の存在をどのように推論できるか？

主な発見

• G-局所 martingale デフレーターが S^τ または S^{τ−} に対して存在するのは、Azéma 上 martingale と F-局所 martingale デフレーターに関する特定の条件が満たされる場合に限る。
• G-局所 martingale デフレーターは、F-局所 martingale デフレーターと、τ の Azéma 上 martingale の乗法的分解から得られる乗法的要因の積として明示的に構成される。
• 乗法的要因は、停止時刻 τ に関連する半 martingale 分解から自然に生じる。
• 開発された理論的枠組みにより、観察可能な市場データからフィルトレーション拡大設定を推論することが可能になる。
• 結果として、フィルトレーション拡大下でのデフォルト強度モデルにおける局所 martingale デフレーターの存在を検証する体系的な手法が得られる。
• 分析により、信用リスクモデリングにおける局所 martingale デフレーター、フィルトレーション拡大、および Azéma 上 martingale の相互作用についての新たな知見が得られる。