[論文レビュー] Local Minimizers of the Ginzburg-Landau Functional with Prescribed Degrees

Mickaël Dos Santos|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、平面の多重連結領域において、各境界成分に所定の次数が指定された場合のギンツブルク＝ランダウ汎関数の局所的最小解の存在を確立する。テスト関数の摂動に基づく構成と、切断関数および調和拡張を用いたエネルギー制御により、著者たちはベルリヤンドとリバロの単一穴領域における結果を複数穴領域へ拡張し、任意の有限個の穴に対して十分小さい $\varepsilon$ に対して局所的最小解が存在することを証明する。

ABSTRACT

We consider, in a smooth bounded multiply connected domain $\dom\subset\R^2$, the Ginzburg-Landau energy $\d E_\v(u)=1/2\int_\dom{| u|^2}+\frac{1}{4\v^2}\int_\dom{(1-|u|^2)^2}$ subject to prescribed degree conditions on each component of $\p\dom$. In general, minimal energy maps do not exist \cite{BeMi1}. When $\dom$ has a single hole, Berlyand and Rybalko \cite{BeRy1} proved that for small $\v$ local minimizers do exist. We extend the result in \cite{BeRy1}: $\d E_\v(u)$ has, in domains $\dom$ with $2,3,...$ holes and for small $\v$, local minimizers. Our approach is very similar to the one in \cite{BeRy1}; the main difference stems in the construction of test functions with energy control.

研究の動機と目的

• 所定のトポロジカル次数が指定された多重連結領域におけるグローバル最小解の非存在を扱う。
• ベルリヤンドとリバロの単一穴領域における局所的最小解の結果を、複数穴領域へ拡張する。
• 各境界成分で所定の次数を達成するがエネルギーが制御されたテスト関数の構成。
• 十分小さい $\varepsilon$ に対して、多重連結領域の各境界成分で固定された次数を持つ写像のクラスにおいて、局所的最小解が存在することを証明する。

提案手法

• 基底写像を切断関数 $N_{\eta}$ を用いて変更することでテスト関数を構成し、これらは $L^2$ で 1 に近く、かつ 2 で有界である。
• 段階的摂動プロセスを用いて、局所的エネルギー評価に基づき、各境界成分での次数を $\pm 1$ ずつ段階的に調整する。
• キーとなる補題（補題 5）を適用し、単一の境界成分での次数を $\pm 1$ に変更する際のエネルギー増加を制御し、それが $\pi + \eta$ で有界であることを示す。
• 調和拡張および級数展開を用いて、境界成分付近およびアニュラリ領域における写像の挙動を推定する。
• 優越収束定理を用いて、$\eta \to 0$ のとき摂動写像が元の写像に $L^2$ 収束することを保証し、弱収束性を維持する。
• 複数の境界成分におけるエネルギー推定を、テレスコピック和の議論により組み合わせ、総エネルギー増加が $\pi \sum |\delta_i| + \eta$ で有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分小さい $\varepsilon$ に対して、各境界成分に所定の次数が指定された多重連結領域におけるギンツブルグ＝ランダウ汎関数の局所的最小解は存在するか？
• RQ2 単一の境界成分での次数を $\pm 1$ ずつ段階的に調整する際、エネルギー増加を一様に制御できるか？
• RQ3 各境界成分で固定された次数を持つ写像のクラスは弱 $H^1$ 収束に関して閉じているか？そうでない場合、それでも局所的最小解を構成できるか？
• RQ4 境界成分での次数の変更に伴うエネルギーの漸近的挙動は何か？また、これは $\varepsilon$ に依存せずに有界にできるか？
• RQ5 所定の次数を満たし、エネルギーが制御された写像の列を、与えられた写像に $L^2$ 収束させるにはどうすればよいか？

主な発見

• 任意の有界で滑らかな多重連結領域 $\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^2$ で $N \geq 2$ 個の穴を持つ場合、十分小さい $\varepsilon > 0$ に対してギンツブルグ＝ランダウ汎関数の局所的最小解が存在する。
• 単一の境界成分での次数を $\pm 1$ に変更する際のエネルギー増加は、任意の $\eta > 0$ に対して $\pi + \eta$ で有界であり、$\varepsilon$ に依存しない。
• 写像列 $u_{\eta}^\delta$ を構成でき、$E_\varepsilon(u_{\eta}^\delta) \leq E_\varepsilon(u) + \pi \sum_{i=0}^N |\delta_i| + \eta$ かつ $\|u - u_{\eta}^\delta\|_{L^2} \to 0$ ($\eta \to 0$ のとき) を満たす。これにより $L^2$ 収束が保証される。
• 構成法は、元の写像に有界で $L^2$ 収束する切断関数 $N_\eta$ を乗じることに依存しており、エネルギーを著しく増加させることなく局所的に次数を調整できる。
• 領域を分解し、各境界成分を独立に取り扱うことで、ベルリヤンドとリバロの単一穴領域における結果を、複数穴領域へ一般化する。
• トポロジカル制約（所定の次数）が、$\varepsilon$ が小さいとき、局所的最小解の存在を妨げないことが確認された。これは、制約集合にコンパクト性がないにもかかわらず成り立つ。