[論文レビュー] Local Rigidity for Cocycles

David Fisher, G. A. Margulis|ArXiv.org|Mar 19, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高ランクの単純代数的群およびその格子に関連するコサイクルの局所剛性を確立し、定数コサイクルの連続的または $L^\infty$-小領域の摂動が、小さなコンパクト値をとるコサイクルをmoduloとして元のコサイクルに連続的になめらかに変換可能であることを示している。主な貢献は、 Zimmer のコサイクル超剛性定理を、摂動が小さい場合に可測な共役を連続的共役に置き換えることで強化することであり、アフィン的および準アフィン的作用への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we study perturbations of constant cocycles for actions of higher rank semi-simple algebraic groups and their lattices. Roughly speaking, for ergodic actions, Zimmer's cocycle superrigidity theorems implies that the perturbed cocycle is measurably conjugate to a constant cocycle modulo a compact valued cocycle. The main point of this article is to see that a cocycle which is a continuous perturbation of a constant cocycle is actually continuously conjugate back to the original constant cocycle modulo a cocycle that is continuous and "small". We give some applications to perturbations of standard actions of higher rank semisimple Lie groups and their lattices. Some of the results proven here are used in our proof of local rigidity for affine and quasi-affine actions of these groups. We also improve and extend the statements and proofs of Zimmer's cocycle superrigidity.

研究の動機と目的

• 高ランク単純代数的群およびその格子の作用に関するコサイクルの局所剛性を、小摂動の下で確立すること。
• 摂動が小さい場合に、可測な共役を連続的共役に置き換えることで、Zimmer のコサイクル超剛性定理を強化すること。
• 摂動されたコサイクルが、コンパクト値をとるコサイクルをmoduloとして、連続的かつ $L^\infty$-小領域の共役写像により定数コサイクルに共役可能であることを示すこと。
• これらの結果を、これらの群の標準的・アフィン的・準アフィン的作用の摂動に応用すること。
• コサイクル超剛性の適用範囲を、非アーチメデス的局所体および有限エルゴディック拡張への移行を要しない範囲に拡張すること。

提案手法

• 連続的準同型 $\pi_0: G \to L$ または $\pi_0: \Gamma \to L$ を用いて定数コサイクル $\alpha_{\pi_0}$ を定義する。
• 定数コサイクル $\alpha_{\pi_0}$ に $L^\infty$-近い Borel コサイクル $\alpha$ を考え、定数コサイクルの小摂動を表す。
• 測度的に可測な共役写像 $\phi: S \to L$ を構成し、$\alpha(g,x) = \phi(gx)^{-1} \pi_0(g) z(g,x) \phi(x)$ を満たすようにし、$\phi$ が $L^\infty$ で小さいようにする。
• 得られるコサイクル $z$ が自明なコサイクルに $L^\infty$-近いことを示し、恒等元の近傍にあるコンパクト部分群に値をとるコサイクルに可測に共役可能であることを示す。
• 作用とコサイクルが局所コンパクト空間上で連続的かつ全スクリーニングを持つ場合、$\phi$ と $z$ を連続的に選べることを証明する。
• 結果をスケイプ積やアフィン的作用に適用するため、作用を普遍被覆に上げて、群拡張を用いて関連コサイクルを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク単純代数的群作用上の定数コサイクルの小 $L^\infty$-摂動は、元のコサイクルに連続的共役可能か？
• RQ2 Zimmer のコサイクル超剛性定理における可測共役が、摂動が小さい場合にどの程度連続的共役に改善されるか？
• RQ3 非アーチメデス的局所体への超剛性定理の拡張は、有限エルゴディック拡張への移行を要せずに行えるか？
• RQ4 写像 $\pi_0$ の像の中心化群は、摂動されたコサイクルおよびその共役性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 コンパクト正規部分群は、摂動されたコサイクルの共役類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 定数コサイクル $\alpha_{\pi_0}$ に $L^\infty$-近いコサイクル $\alpha$ は、自明なコサイクルに $L^\infty$-近いコサイクル $z$ をmoduloとして、連続的共役可能である。
• 共役写像 $\phi$ は $L^\infty$-小領域であり、作用とコサイクルが局所コンパクト空間上で連続的かつ全スクリーニングを持つ場合、$\phi$ を連続的に選べる。
• 摂動されたコサイクル $z$ は、恒等元の近傍にあるコンパクト部分群 $C$ に値をとるコサイクルに可測に共役可能である。
• 体 $k$ がアーチメデス的である場合、コンパクト値をとるコサイクル $z$ は自明なコサイクルに可測に共役可能であり、より強い剛性を示す。
• 結果は、代数群へのホモモルフィズム $\pi: \Gamma \to L$ の超剛性を用いることで、格子 $\Gamma < G$ に対しても拡張可能である。
• フレームワークはアフィン的および準アフィン的作用に適用可能であり、これらの作用の局所剛性を示すために結果が用いられる。